深入浅出算法题-零钱兑换的动态规划问题

深入浅出算法题-零钱兑换的动态规划问题

 

一、 零钱兑换：硬币的最少个数

• 给一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

• 计算并返回可以凑成总金额所需的最少硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1 。

• 可认为每种硬币的数量是无限的。

解题关键点

• 经典的动态规划问题。

• 设置一个数组dp，其中每个元素dp[i]记录的是，当金额为i时，所需要的硬币个数。则题目所求为dp[amount]。

• 考虑基础简单的例子。有dp[0] = 0，也就是说，金额为0所需的硬币个数是0。

• 考虑状态转移公式。从小到大遍历金额数，这样，可以保证：当我们计算金额i所需的最少硬币个数dp[i]时，前面更少的金额所需要的最少硬币个数，比如dp[i-1]、dp[i-2]······等都已求出。

• 那么，对任意的dp[i]，面对某种硬币的面额（记为coin），如果在凑成金额i时选择了这枚硬币，那么在凑成金额（i-coin）时所需要的硬币个数 + 1即可。也就是dp[i] = dp[i-coin] + 1。

1.  
   class Solution(object):
2.  
       def coinChange(self, coins, amount):
3.  
           """
4.  
           :type coins: List[int]
5.  
           :type amount: int
6.  
           :rtype: int
7.  
           """
8.  
           # 初始化为正无穷大
9.  
           dp = [float('inf')]*(amount+1)
10.  
        
11.  
            # 金额为0，所要凑的硬币个数也为0
12.  
            dp[0] = 0
13.  
            
14.  
            for coin in coins:
15.  
                sum_coin = coin
16.  
                
17.  
                while sum_coin < (amount+1):
18.  
                    dp[sum_coin] = min(dp[sum_coin], dp[sum_coin-coin]+1)
19.  
                    sum_coin += 1
20.  
            
21.  
            # print(dp)
22.  
            return dp[amount] if dp[amount]!= float('inf') else -1

二、零钱兑换：硬币的组合总数

• 给一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

• 计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

• 假设每一种面额的硬币有无限个。

解题关键点

• 经典的动态规划问题。

• 设置一个数组dp，其中每个元素dp[i]记录的是，当凑成金额为i时，所有的硬币组合的总数。则题目所求为dp[amount]。

• 考虑基础简单的例子。有dp[0] = 1，也就是说，金额为0时，只有1种选择，就是什么硬币都不取。

• 考虑状态转移公式。从小到大遍历金额数，这样，可以保证：当我们计算金额i的硬币组合数dp[i]时，前面更少的金额的组合数比如dp[i-1]、dp[i-2]······等都已求出。

• 那么，对任意的dp[i]，面对某种硬币的面额（记为coin），如果在凑成金额i时选择了这枚硬币，那么它也包含了凑成金额（i-coin）时的组合个数。而对不同面值的硬币coin，都需要累加所有的组合个数。

1.  
   class Solution(object):
2.  
       def change(self, amount, coins):
3.  
           """
4.  
           :type amount: int
5.  
           :type coins: List[int]
6.  
           :rtype: int
7.  
           """
8.  
    
9.  
           dp = [0]*(amount+1)
10.  
            dp[0] = 1
11.  
     
12.  
            for coin in coins:
13.  
                sum_coin = coin
14.  
                
15.  
                while sum_coin <= amount:
16.  
                    dp[sum_coin] += dp[sum_coin-coin]
17.  
                    sum_coin += 1
18.  
            
19.  
            return dp[amount]

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