LSTM简介以及数学推导(FULL BPTT)
前段时间看了一些关于LSTM方面的论文，一直准备记录一下学习过程的，因为其他事儿，一直拖到了现在，记忆又快模糊了。现在赶紧补上，本文的组织安排是这样的：先介绍rnn的BPTT所存在的问题，然后介绍最初的LSTM结构，在介绍加了遗忘控制门的，然后是加了peephole connections结构的LSTM，都是按照真实提出的时间顺序来写的。本文相当于把各个论文核心部分简要汇集一下而做的笔记，已提供快速的了解。
一.rnn结构的BPTT学习算法存在的问题
先看一下比较典型的BPTT一个展开的结构，如下图，这里只考虑了部分图，因为其他部分不是这里要讨论的内容。
对于t时刻的误差信号计算如下：
这样权值的更新方式如下：
上面的公式在BPTT中是非常常见的了，那么如果这个误差信号一直往过去传呢，假设任意两个节点u, v他们的关系是下面这样的：
那么误差传递信号的关系可以写成如下的递归式：
n表示图中一层神经元的个数，这个递归式的大概含义不难理解，要求t-q时刻误差信号对t时刻误差信号的偏导，就先求出t-q+1时刻对t时刻的，然后把求出来的结果传到t-q时刻，递归停止条件是q = 1时，就是刚开始写的那部分计算公式了。将上面的递归式展开后可以得到：
论文里面说的是可以通过归纳来证明，我没仔细推敲这里了，把里面连乘展开看容易明白一点：
整个结果式对T求和的次数是n^(q-1), 即T有n^(q-1)项，那么下面看问题出在哪儿。
如果|T| > 1, 误差就会随着q的增大而呈指数增长，那么网络的参数更新会引起非常大的震荡。
如果|T| < 1， 误差就会消失，导致学习无效，一般激活函数用simoid函数，它的倒数最大值是0.25, 权值最大值要小于4才能保证不会小于1。
误差呈指数增长的现象比较少，误差消失在BPTT中很常见。在原论文中还有更详细的数学分析，但是了解到此个人觉的已经足够理解问题所在了。
二.最初的LSTM结构
为了克服误差消失的问题，需要做一些限制，先假设仅仅只有一个神经元与自己连接，简图如下：
根据上面的，t时刻的误差信号计算如下：
为了使误差不产生变化，可以强制令下式为1：
根据这个式子，可以得到：
这表示激活函数是线性的，常常的令fj(x) = x, wjj = 1.0，这样就获得常数误差流了，也叫做CEC。
但是光是这样是不行的，因为存在输入输出处权值更新的冲突(这里原论文里面的解释我不是很明白)，所以加上了两道控制门，分别是input gate, output gate，来解决这个矛盾，图如下：
图中增加了两个控制门，所谓控制的意思就是计算cec的输入之前，乘以input gate的输出，计算cec的输出时，将其结果乘以output gate的输出，整个方框叫做block, 中间的小圆圈是CEC, 里面是一条y = x的直线表示该神经元的激活函数是线性的，自连接的权重为1.0
三.增加forget gate
四.增加Peephole的LSTM结构
- input gate, forget gate的输入输出
- cell的输入
- output gate的输入输出
- cell的输出(这里也是block的输出)
五.一个LSTM的FULL BPTT推导(用误差信号)
- wij表示从神经元i到j的连接权重(注意这和很多论文的表示是反着的)
- 神经元的输入用a表示，输出用b表示
- 下标 ι, φ 和 ω分别表示input gate, forget gate，output gate
- c下标表示cell，从cell到 input, forget和output gate的peephole权重分别记做 wcι , wcφ and wcω
- Sc表示cell c的状态
- 控制门的激活函数用f表示，g，h分别表示cell的输入输出激活函数
- I表示输入层的神经元的个数，K是输出层的神经元个数，H是隐层cell的个数
