hrbustoj 1429:凸多边形（计算几何，判断点是否在多边形内，二分法）
凸多边形
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Description
已知一个凸多边形A（包含n个点，点按照顺时针给出），和一个点集B（包含m个点），请判断这m个点是否都严格在凸多边形A内部。
Input
输入包含多组测试数据。
对于每组测试数据：
第1行，包含一个整数n (3 ≤ n ≤ 105)代表着凸多边形A的点的数量。
接下来n行每行包含一个坐标(x, y) (-109 ≤ x, y ≤ 109) 表示这个凸多边形，点按照顺时针给出。
第n + 2行，包含一个整数m (3 ≤ m ≤ 105)代表着点集B的点的数量。
接下来m行每行包含一个坐标(x, y) (-109 ≤ x, y ≤ 109) 表示这个点集B。
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Output
对于每组测试数据：
第1行，如果点集B都严格在凸多边形A内，输出YES，否则输出NO。
Sample Input
4
-10 -10
-10 10
10 10
10 -10
3
0 0
1 1
2 2
4
-10 -10
-10 10
10 10
10 -10
3
100 100
1 1
2 2
Sample Output
YES
NO
Author
齐达拉图@HRBUST
计算几何，判断点是否在多边形内（二分法）。
判断点是否在多边形内有多种方法，例如：射线法，角度和判断法，弧长法，二分法。
射线法是我最开始学的方法，较麻烦；角度和判断法也叫转角法，比较方便，但是由于要计算大量的反三角函数，所以速度较慢，容易产生精度误差。而弧长法的优点恰恰就是精度高，只需作乘法和减法，若对整数坐标则完全没有精度问题。而且实现简单，比射线法和转角法都好写。二分法速度最快，特别适应于判断多个点是否在多边形内的情况。就像这道题。
其中前三种方法时间复杂度都是O(n)，二分法时间复杂度是O(logn)。
这道题的题意是已知构成凸多边形A的n个点的坐标，和点集B的m个点的坐标，求这B的m个点是否都在凸多边形A内（严格内部，就是点不能在多边形边上）。
思路：用以上前三种方法的任意一种都会超时，时间复杂度为(O(mn))，遂使用二分法，这道题的时间复杂度为(O(mlogn))。
二分法求多边形的步骤：
1、选择多边形其中一个点为起点，连接其它点作射线。
2、判断给定的点是否在所有射线包围的区域之内，即判断给定点是否在最左侧射线的左边，或者在最右侧射线的右边。
3、如果在射线包围的区域之内，选择构成最两侧的射线的点为left和right，则mid = (left+right)/2，连接给顶点和起点作射线，判断该射线在mid点和起点的哪一边，不断循环，如此用二分法最后求出给定点所在的三角形区域，由此确定了除起点外的一条边。
4、判断给定点在这条边的左方还是右方，由此判断给定点是否在三角形区域内，也就是是否在多边形内。
注意：这道题有个坑，点要求严格在多边形内部，也就是说不能在多边形的边上。注意这一点，测试数据控制的很严格，WA了好多次才明白过来。
代码：
1 #include <stdio.h>
2 #define eps 1e-10
3 struct Point{
4 double x,y;
5 };
6 double xmulti(Point p1,Point p2,Point p0) //求p1p0和p2p0的叉积,如果大于0,则p1在p2的顺时针方向
7 {
8 return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
9 }
10 Point A[100001],B[100001];
11 int main()
12 {
13 int i,n,m;
14 while(scanf("%d",&n)!=EOF){
15 for(i=1;i<=n;i++) //输入多边形的顶点
16 scanf("%lf%lf",&A[i].x,&A[i].y);
17 scanf("%d",&m);
18 for(i=1;i<=m;i++) //输入点集
19 scanf("%lf%lf",&B[i].x,&B[i].y);
20 //二分法判断B上的点是否在原凸多边形A内，注意在边上不行
21 for(i=1;i<=m;i++){ //B[i]
22 if(xmulti(B[i],A[2],A[1])<=eps || xmulti(B[i],A[n],A[1])>=-eps) //在第一个点为起点的扇形之外或在边上
23 break;
24 int left=2,right=n;
25 while(right-left!=1){
26 int mid = (left+right)/2;
27 if(xmulti(B[i],A[mid],A[1])>eps)
28 left = mid;
29 else
30 right = mid;
31 }
32 if(xmulti(B[i],A[right],A[left])<=eps) //在边之外或在边上
33 break;
34 }
35 if(i>m)
36 printf("YES\n");
37 else
38 printf("NO\n");
39 }
40 return 0;
41 }
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