最长递增子序列 的二分算法
转自：http://www.felix021.com/blog/read.php?1587
http://fayaa.com/code/view/13122/raw/
这篇也不错，自己点开看吧：
http://www.wutianqi.com/?p=1850
今天回顾WOJ1398，发现了这个当时没有理解透彻的算法。
看了好久好久，现在终于想明白了。
试着把它写下来，让自己更明白。
最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！
代码如下:
/*
* =====================================================================================
*
* Filename: LIS.c
*
* Description: 求数组的最长递增子序列的长度(Longest Inceasing SubSequence: LIS)
* 该题目最好的时间复杂度为O(nlogn), 做法参见http://www.felix021.com/blog/read.php?1587,
* 使用到了动态规划
* Version: 1.0
* Created: 2010年08月27日 11时11分01秒
* Revision: none
* Compiler: gcc
*
* Author: glq2000 (), glq2000@126.com
* Company: HUE ISRC
*
* =====================================================================================
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 9 //数组元素个数
int array[N] = {2, 1, 6, 3, 5, 4, 8, 7, 9}; //原数组
int B[N]; //在动态规划中使用的数组,用于记录中间结果,其含义三言两语说不清,请参见博文的解释
int len; //用于标示B数组中的元素个数
int LIS(int *array, int n); //计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求
int BiSearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜索算法
int main()
{
printf("LIS: %d\n", LIS(array, N));
int i;
for(i=0; i<len; ++i)
{
printf("B[%d]=%d\n", i, B[i]);
}
return 0;
}
int LIS(int *array, int n)
{
len = 1;
B[0] = array[0];
int i, pos = 0;
for(i=1; i<n; ++i)
{
if(array[i] > B[len-1])
{
B[len] = array[i];
++len;
}
else
{
pos = BiSearch(B, len, array[i]);
B[pos] = array[i];
}
}
return len;
}
//做了修改的二分搜索算法,若要查找的数w在长为len的数组b中存在则返回下标,
//若不存在,则返回b数组中的刚刚大于w的那个元素的下标,该元素即需要被替换的元素
int BiSearch(int *b, int len, int w)
{
int left = 0, right = len-1;
int middle;
while(left <= right)
{
middle = (left+right)/2;
if(b[middle] > w)
right = middle - 1;
else if(b[middle] < w)
left = middle + 1;
else
return middle;
}
return (b[middle]>w) ? middle : middle+1; //即返回b数组中的刚刚大于w的那个元素的下标
}
