NOIP--图论-第K短路
所谓K短路，就是从s到t的第K短的路，第1短就是最短路。
如何求第K短呢？有一种简单的方法是广度优先搜索，记录t出队列的次数，当t第k次出队列时，就是第k短路了。但点数过大时，入队列的节点过多，时间和空间复杂度都较高。
A*是在搜索中常用的优化，一种启发式搜索。简单的说，它可以用公式表示为f(n) = g(n) + f(n)，其中，f(n)是从s经由节点n到t的估价函数，g(n)是在状态空间中从s到n的实际代价，h(n)是从n到t的最佳路径估计代价。在设计中，要保证h(n)<= n到t的实际代价，这一点很重要，h(n)越接近真实值，速度越快。
由于启发函数的作用，使得计算机在进行状态转移时尽量避开不可能产生最优解的分支，而选择相对较接近最优解的路径进行搜索，降低了时间和空间复杂度。
算法过程：
1. 将图反向，用dijstra+heap求出t到所有点的最短距离，目的是求所有点到点t的最短路，用dis[i]表示i到t的最短路，其实这就是A*的启发函数，显然：h(n)<= n到t的实际代价。
2. 定义估价函数。我们定义g(n)为从s到n所花费的代价，h(n)为dis[n]，显然这符合A*算法的要求。
3. 初始化状态。状态中存放当前到达的点i,fi,gi。显然，fi=gi+dis[i]。初始状态为(S,dis[S],0)，存入优先级队列中。
4. 状态转移。假设当前状态所在的点v相邻的点u，我们可以得到转换：(V,fv,gv)-->(U,fu+w[v][u],gv+w[v][u])。
5. 终止条件。每个节点最多入队列K次，当t出队列K次时，即找到解。
例：POJ2449
题意：裸的K短路。题目大意就是给出一个图，然后给出一个起点个一个终点，求这两点间的第K短路。
Cpp代码
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#include <iostream>
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#include <cstdio>
-
#include <cstring>
-
#include <queue>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
-
const int MAX = 1005;
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int n,m;
-
int start,end,k;
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struct Edge
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{
-
int w;
-
int to;
-
int next;
-
};
-
Edge e[100005];
-
int head[MAX],edgeNum;
-
int dis[MAX]; //dis[i]表示从i点到end的最短距离
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bool vis[MAX];
-
int cnt[MAX];
-
vector<Edge> opp_Graph[MAX];
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struct Node
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{
-
int f,g; //f = g+dis[v]
-
int v; //当前到达的节点
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Node(int a, int b,int c):f(a),g(b),v(c){}
-
bool operator < (const Node& a) const
-
{
-
return a.f < f;
-
}
-
};
-
-
void addEdge(int from, int to, int w)
-
{
-
e[edgeNum].to = to;
-
e[edgeNum].w = w;
-
e[edgeNum].next = head[from];
-
head[from] = edgeNum++;
-
}
-
-
void dijikastra(int start)
-
{
-
int i;
-
memset(vis,0,sizeof(vis));
-
for(i = 1; i <= n; i++)
-
dis[i] = INF;
-
dis[start] = 0;
-
priority_queue<Node> que;
-
que.push(Node(0,0,start));
-
Node next(0,0,0);
-
while(!que.empty())
-
{
-
Node now = que.top();
-
que.pop();
-
if(vis[now.v]) //从集合T中选取具有最短距离的节点
-
continue;
-
vis[now.v] = true; //标记节点已从集合T加入到集合S中
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for(i = 0; i < opp_Graph[now.v].size(); i++) //更新从源点到其它节点(集合T中)的最短距离
-
{
-
Edge edge = opp_Graph[now.v][i];
-
if(!vis[edge.to] && dis[now.v] + edge.w < dis[edge.to]) //加不加前面的判断无所谓
-
{
-
dis[edge.to] = dis[now.v] + edge.w;
-
next.f = dis[edge.to];
-
next.v = edge.to;
-
que.push(next);
-
}
-
}
-
}
-
}
-
-
int A_Star()
-
{
-
int i;
-
priority_queue<Node> que;
-
if(dis[start] == INF)
-
return -1;
-
que.push(Node(dis[start],0,start));
-
Node next(0,0,0);
-
while(!que.empty())
-
{
-
Node now = que.top();
-
que.pop();
-
cnt[now.v]++;
-
if(cnt[end] == k)
-
return now.f;
-
if(cnt[now.v] > k)
-
continue;
-
for(i = head[now.v]; i != -1; i = e[i].next)
-
{
-
next.v = e[i].to;
-
next.g = now.g + e[i].w;
-
next.f = next.g + dis[e[i].to];
-
que.push(next);
-
}
-
}
-
return -1;
-
}
-
-
int main()
-
{
-
int i;
-
int from,to,w;
-
edgeNum = 0;
-
memset(head,-1,sizeof(head));
-
memset(opp_Graph,0,sizeof(opp_Graph));
-
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
-
scanf("%d %d",&n,&m);
-
Edge edge;
-
for(i = 1; i <= m; i++)
-
{
-
scanf("%d %d %d",&from,&to,&w);
-
addEdge(from,to,w);
-
edge.to = from;
-
edge.w = w;
-
opp_Graph[to].push_back(edge);
-
}
-
scanf("%d %d %d",&start,&end,&k);
-
if(start == end)
-
k++;
-
dijikastra(end);
-
int result = A_Star();
-
printf("%d\n",result);
-
return 0;
-
}
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链接：https://pan.baidu.com/s/1tHo1DFMaDuMZAemNH60dmw
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