NOIP--树状数组(Binary Indexed Tree)
1.“树状数组”数据结构的一种应用
对含有n个元素的数组(a[1],...,a[k],...,a[n])：
(1)求出第i个到第j个元素的和，sum=a[i]+...+a[j]。
进行j-i+1次加法，复杂度为O(j-i+1)
(2)任意修改其中某个元素的值。
使用数组下标可以直接定位修改，时间复杂度为O(1)
对于同时支持上述两种操作的系统中，求和操作(1)求任意连续个数组元素和的平均时间复杂度为O(n)，修改操作(2)时间复杂度是O(1)。如果系统中大量进行上述两种操作m次，其中执行操作(1)概率1/p，操作(2)概率1-1/p，则系统时间复杂度为：
可以使用树状数组使得上述两种操作的时间复杂度为O(m*logn)。
2.树状数组介绍
核心思想：
(1)树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。
(2)在进行连续求和操作a[1]+...+a[n]时，只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)
(3)在进行修改某个元素a[i]时，只需要修改树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)
下图就是一个树状数组的示意图：
解释如下：
1) a[]: 保存原始数据的数组。(操作(1)求其中连续多个数的和，操作(2)任意修改其中一个元素)
e[]: 树状数组，其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。
2） e[i]是几个a数组中的元素的和？
如果数字 i 的二进制表示中末尾有k个连续的0，则e[i]是a数组中2^k个元素的和，则e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。
如：4=100(2) e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
6=110(2) e[6]=a[5]+a[6]
7=111(2) e[7]=a[7]
3) 后继：可以理解为节点的父亲节点。是离它最近的，且编号末位连续0比它多的就是它的父亲,如e[2]是e[1]的后继；e[4]是e[2]的后继。
如e[4] = e[2]+e[3]+a[4] = a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的后继就是e[4]。
后继主要是用来计算e数组，将当前已经计算出的e[i]添加到他们后继中。
前驱：节点前驱的编号即为比自己小的，最近的，最末连续0比自己多的节点。如e[7]的前驱是e[6],e[6]的前驱是e[4]。
前驱主要是在计算连续和时，避免重复添加元素。
如：Sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驱是e[6], e[6]的前驱是e[4])
计算前驱与后继：
lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;
节点e[i]的前驱为 e[ i - lowbit(i) ]；
节点e[i]的前驱为 e[ i + lowbit(i) ]
3.树状数组代码示例
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int input(int*,int*,int); ///输入数据
int calStageSum(int*,int); ///计算树状数组
int getSum(int*,int); ///求出前n个数字的和
int updataElement(int*,int*,int,int,int); ///更新某一位置上的元素
int main (){
int n;
int newValue;
cout<<"Input the n(n>3) :";
cin>>n;
int *num = new int[n+1];
int *sum = new int[n+1];
cout<<"Input "<<n<<" numbers"<<endl;
input(num,sum,n);
calStageSum(sum,n);
cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl;
cout<<"Update the 2nd number value:";
cin>>newValue;
updataElement(sum,num,n,2,newValue);
cout<<"The sum of first three number:"<<getSum(sum,3)<<endl;
delete []num;
delete []sum;
return 0;
}
int input(int* num,int *sum,int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>num[i];
sum[i] = num[i];
}
return 0;
}
int calStageSum(int *sum,int n){
int lowbit;
int par;
for(int i=1;i<=n;i++){
lowbit = ((i-1)^i)&i;
par = lowbit+i; ///后继节点id
if(par <= n){
sum[par] = sum[par] + sum[i];
}
}
return 0;
}
int getSum(int* sum,int n){
int sumPreN = 0;
int lowbit = 0;
while(n!=0){
sumPreN += sum[n];
lowbit = ((n-1)^n)&n;
n = n - lowbit; ///前驱节点id
}
return sumPreN;
}
int updataElement(int* sum,int *num,int n,int pos,int newvalue){
int lowbit = 0;
int dis = newvalue - num[pos];
num[pos] = newvalue;
sum[pos] = sum[pos]+dis;
while(true){
lowbit = ((pos-1)^pos)&pos;
pos = pos + lowbit; ///后继节点id
if(pos <= n){
sum[pos] = sum[pos]+dis;
}
else
break;
}
return 0;
}
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