NOIP--OI省选算法之线段树（1）

线段树算法

线段树的构造思想 
线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。每一个叶子节点表示了一个单位区间。对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2,b]。 
例如: 

线段树的运用 
线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态维护的信息，视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性，可以适应不同的需求。 

例1:求覆盖线段的总长度 
      [10000,22000]   [30300,55000]   [44000,60000]   [55000,60000] 
排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000 
对应得     1，   2，    3，    4，    5，    6 
        [1,2]            [3,5]           [4,6]          [5,6] 

线段树做法: 

例2:http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2528 
题意:贴海报,输出可以看到的个数. 

1. //贴海报,输出没有被覆盖的个数  

2. //可以改成cpp试试  

3. #include<stdio.h>  

4. struct node  

5. {  

6.     int l,r; //左右孩子的编号  

7.     int st,mi,en;  

8.     int id;  

9. };  // 线段树简单一维  

10. const int maxN = 50000002; //线段树的节点个数  

11. const int maxL = 10000020; //台阶的宽度上限  

12.   

13. node segment_tree[maxN]; //保存着线段树的所有节点  

14. #define tree segment_tree  

15. int root, ptr;  

16. void insert(int cr, int start, int end, int color) //插入到指定区域,同时初始化沿途的所有节点  

17. {  

18.     if(start >= end) //不符合输入要求  

19.         return;  

20.     if(tree[cr].st == start && tree[cr].en == end) //输入区间正好等于节点的表示区间  

21.     {  

22.         tree[cr].id = color; //这个区间属于该海报  

23.         return;  

24.     }  

25.     int mid = (tree[cr].st + tree[cr].en) / 2;  

26.     if(tree[cr].l == 0) //意味着还没有初始化孩子结点  

27.     {  

28.         //ptr代表节点的编号  

29.         tree[cr].l = ptr++;  

30.         tree[tree[cr].l].l = tree[tree[cr].l].r = 0;  

31.         tree[tree[cr].l].id = -1;  

32.         tree[tree[cr].l].st = tree[cr].st, //这里对左右孩子的范围进行初始化  

33.         tree[tree[cr].l].en = mid;  

34.     }  

35.     if(tree[cr].r == 0)  

36.     {  

37.         tree[cr].r = ptr++;  

38.         tree[tree[cr].r].l = tree[tree[cr].r].r = 0;  

39.         tree[tree[cr].r].id = -1;  

40.         tree[tree[cr].r].st = mid,  

41.         tree[tree[cr].r].en = tree[cr].en;  

42.     }  

43.   

44.     if(tree[cr].id != 0) //之后的子区间肯定都属于该海报  

45.     {  

46.         tree[tree[cr].l].id = tree[tree[cr].r].id = tree[cr].id;  

47.         tree[cr].id = 0;  

48.     }  

49.   

50.     if(start >= mid){  

51.         insert(tree[cr].r, start, end, color);  

52.         return;  

53.     }  

54.     if(end <= mid){  

55.         insert(tree[cr].l, start, end, color);  

56.         return;  

57.     }  

58.     insert(tree[cr].l, start, mid, color);  

59.     insert(tree[cr].r, mid, end, color);  

60. }  

61.   

62.   

63. char exist[10001];  

64. void trail(int cr) //统计可以看见的节点编号  

65. {  

66.     if(cr == 0 || tree[cr].id == -1)  

67.         return;  

68.     exist[tree[cr].id] = 1; //id不为0,意味着只有它可见,但之后的节点都看不见了.  

69.     if(tree[cr].id != 0) //不为0意味着后面的区域都要被覆盖.  

70.         return;  

71.     trail(tree[cr].l);  

72.     trail(tree[cr].r);  

73. }  

74.   

75. //初始化跟节点  

76. void init()  

77. {  

78.     root = 1;  

79.     tree[root].l = tree[root].r = tree[root].id = 0;  

80.     tree[root].st = 1, tree[root].en = maxL, tree[root].mi = (1 + maxL)/2;  

81.     ptr = 2;  

82. }  

83.   

84. int main()  

85. {  

86.     int test,n,i,l,r;  

87.     scanf("%d", &test);  

88.     while(test--)  

89.     {  

90.         init();  

91.         scanf("%d",&n);  

92.         for(i = 1; i <= n; i++)  

93.         {  

94.             scanf("%d%d",&l,&r);  

95.             insert(1, l, r+1, i); //从根节点开始插入  

96.         }  

97.         for(i = 1; i <= n; i++)  

98.             exist[i] = 0;  

99.         trail(1);  

100.         int ans = 0;  

101.         for(i = 1; i <= n; i++)  

102.             if(exist[i])  

103.                 ans++;  

104.         printf("%d\n",ans);  

105.     }  

106.     return 0;  

107. }  

 

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题 

主要方法及复杂度(处理复杂度和查询复杂度)如下: 
1.朴素（即搜索） O(n)-O(n) 
2.线段树(segment tree) O(n)-O(qlogn) 
3.ST（实质是动态规划） O(nlogn)-O(1) 

 

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