NOIP--阿克曼函数的递归转非递归解法

  ackerman函数(阿克曼函数，以下简称ack函数)是一个双参数递归函数，用递归计算代码如下

int ack(int m,int n)
{    
    if (m==0)        
     return n+1;    
     else if (n==0)        
     return ack(m-1,1);    
     else
     return ack(m-1,ack(m,n-1));
}

 

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        ack函数像Dirichlet函数一样，是因为为了澄清某种概念而在数学(计算科学)史有一席之地。 
        ack函数最初是作为一个非线性的链式递归的例子而被提出来的，它增长很快，事实上m>3时关于n是远高于线性递推的指数级增长(关于m增长地更快)而反直觉，即使精确计算ack(4,1)也是做不到的，即使ack(3,3)也有61，如果不记忆化搜索，需要递归2000余次才可以计算出来！如果不去考虑ack(3,n)的指数增长的通项而被小数字迷惑企图直接计算，那么会算得毫无头绪，所以ack函数被广泛用于计算机预赛，笔试，数学自主招生考试中。 
        那么既然ack函数增长地如此之快，那么ack(m,1)的反函数增长地极其缓慢了。事实上，路径压缩的并查集经过足够久的查询，每次查询你平均复杂度就是反阿克曼函数级别的(也就是log*级别的，至于为什么，我至晚在2012年就想知道这个问题了，现在终于知道…我恐怕短时间内没法知道(~^~),算法导论里面有对此的推导，有兴趣的同学可以去看一下）,好吧，这是一些有趣的冷知识，和我和ack函数的历史渊源，就当随笔写出来。 
本以为我和ack的缘分在预赛题中知道它怎么做后就没有什么新进展了，最多以后讲到这个题，但是万万没想到我会以一种奇怪的方式遇到这个函数，科学史上隽永有名的函数例如Dirichlet函数，ack函数果然白发如新。

        最近学习ics里的汇编原理初步和数算的栈实现递归方法，事实上这两者是相通的。我虽然没有编写过具体汇编代码，但是大概原则上知道了怎么把函数调用用堆栈实现，怎么用栈机制非递归实现递归。纸上得来终觉浅，我决定找一个例题，我编了一个复杂点的题—ackerman函数的非递归实现(递归函数非递归化)。 
经过一番调试调试对了，但是人还是很懵懂，看来还要加强理论学习，不过不得不说这是个很好的例题。

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int Ack(int M,int N)
{    
    int top=0,m,n;    
    int stack[10000][4]={{M,N}};//记录信息m,n,Ack(m,n),跳转出口种类;
    while (true)
    {
        m=stack[top][0];
        n=stack[top][1];        
    if (m==0)            
    stack[top][2]=n+1;        
    else if (n==0)
        {
            top++;            
    stack[top][0]=m-1;            
    stack[top][1]=1;            
    stack[top][3]=1; 
            continue;
            l1:            
    stack[top][2]=stack[top+1][2];
        }        else
        {
            top++;            
    stack[top][0]=m-1;
            top++;            
    stack[top][0]=m;            
    stack[top][1]=n-1;            
    stack[top][3]=2;            
    continue;
            l2:            
    stack[top][1]=stack[top+1][2];            
    stack[top][3]=3;            
    continue;
            l3:            
    stack[top][2]=stack[top+1][2];
        }        
    if (top==0)            
    break;
        top--;        
    switch (stack[top+1][3])
        {            
    case 1:goto l1;            
    case 2:goto l2;            
    case 3:goto l3; 
        }
    }    return stack[0][2];
}

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