NOIP--搜索与动态规划-动态规划知识点分析

1.      概论：

 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。动态规划不是一种具体的算法，而是对解最优化问题的一种途径、一种方法。常见的动态规划有线性动态规划、区域动态规划、树型动态规划、背包问题等。        

2.      知识点梳理：

2.1 基本模型        

动态规划是解决一个多阶段决策过程的最优化问题的常用算法。所谓多阶段决策过程，指的是这样一类特殊过程，过程可以按照一定的顺序分解成若干个相互联系的阶段，在每一个阶段都需要作出决策。全部过程的决策是一个决策序列。而动态规划，就是解决这类过程的最优化问题。利用动态规划解决的多阶段决策过程，必须要有最优子结构特点。即对于一个最优的决策序列，其子序列也是最优的。

2.2  基本思想        

动态规划算法的基本思想是：将带求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解中得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，避免重复求解。该思想与记忆化搜索类似，即将计算步骤中的过程保存下来，避免重复运算。

2.3  基本步骤        

动态规划算法求解的基本步骤如下：

（1）划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。

（2）确定状态和状态变量：注意状态必须满足无后效性。

（3）确定决策：找到子问题是进行动态规划的重要一步。动态规划和递推更多应考虑本问题由哪些已解决子问题构成，而不是考虑本问题对将来哪些问题有贡献。（4）确定边界条件，写出状态转移方程。

（5）代码编程

2.4  常见动态规划类型       

 线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等

区域动规：石子合并，加分二叉树，统计单词个数等

树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等

背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题等

2.5  动态规划的优化        

在NOIP中，动态规划很少需要优化。唯一较为常见的优化方式为“状态压缩”。由于动态规划实质上是一种以时间换空间的解题方式，因此，在空间复杂度上要非常注意。“状态压缩”根据题意找到一个更好的存储状态，避免朴素算法的空间复杂度过大。最经典的例子是NOIP2005中的题目“过河”。

 

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