NOIP--搜索与动态规划-搜索的重难点和例题解读
1. 搜索的重难点
Ø 题目的分析与搜索策略的选择。深度优先搜索和宽度优先搜索适合的题目类型不同。
Ø 搜索算法的完备性。搜索算法必须包含的最优解。
Ø 搜索算法的复杂度预测与算法优化。
2. 例题分析
例题1-1：N皇后问题
【问题描述】在国际象棋中，皇后可以攻击与她在同一条水平线、垂直线和对角线的棋子。现在有一张N×N的国际象棋棋盘，在上面放置N个皇后。问有多少种使皇后不能互相攻击的方案？（N≤13）
【分析】本题是一个经典的深度优先搜索题。由于皇后可以攻击同一水平线的棋子，要让皇后们互相攻击不到，每一行只有一个皇后。因此，搜索策略是，逐行搜索，枚举每一行皇后的位置，如果有皇后能
互相攻击到，则回溯，否则继续下一行。
本题如果不加优化，理论最坏时间复杂度为O(NN)，但实际上达不到这个复杂度，但是也容易超时。下面说一些可行的优化。
依据对称性进行优化，对于第一行，只要枚举前N/2个点即可，根据左右对称特点，复制出右边的即可。可将时间消耗减少一半。
递归时记录下一行皇后的可能位置。在递归的过程中，每放置一个皇后，更新所有该皇后可以攻击到的区域；在回溯的过程中，将这些区域清空。
状态压缩。将每一行的状态记录在一个整形变量中，并且使用位运算——这样，速度会比朴素算法的快很多。
例题1-2：走迷宫
【问题描述】现有一个m行n列的迷宫 (m≤1000, n≤1000)，其中白色(0)代表可以通过，黑色(1)代表不可通过（墙）。请给出任意一条从(1,1)出发到(m,n)的最短路径。如果不能到达，输出“Failed”。下图给出了一个迷宫样例。边给出输入样例，右边给出图示：
10 8
0001000000
0101011110
0111000100
0001010111
0100010001
0111011100
1101010101
0000010000
图中，蓝色箭头所示路径即为一条可行的最短路径。
【分析】本题为经典的宽度优先搜索题。对于本题，如果使用深度优先搜索，当m和n很大时，搜索深度会非常大，而且很多节点会被重复遍历。使用宽度优先搜索，记录该节点到根节点(1,1)的距离和该距离对应的上一步节点，按照与根节点的距离进行分层搜索。具体如下：
（1）将根节点加入队列，并将根节点状态更新为已遍历。
（2）如果队列为空，则输出Failed，程序结束，否则进入3。
（3）从队列中弹出一个节点，如果该节点为(m,n)，则按照路径上节点记录的上一步节点，回溯得到路径，程序结束，否则进入4。
（4）判断它上下左右四个节点是否可行并未遍历。更新所有未遍历的可行节到根节点的距离为当前节点加一；更新所有未遍历的可行节点上一步节点为当前节点；将它们加入队列。进入2。
由于本题中所有节点只会被更新一次，因此，整个算法复杂度为O(mn)。该算法与漫水算法（FloodFill）类似。
例题1-3：字串变换（NOIP2002）
【问题描述】已知有两个字串 A$, B$ 及一组字串变换的规则（至多6个规则）：
A1$ -> B1$
A2$ -> B2$
规则的含义为：在 A$ 中的子串 A1$ 可以变换为 B1$、A2$ 可以变换为B2$ …。
例如：A$＝'abcd'，B$＝'xyz'
变换规则为：
‘abc’->‘xu’,‘ud’->‘y’,‘y’->‘yz’
则此时，A$ 可以经过一系列的变换变为B$，其变换的过程为：
‘abcd’->‘xud’->‘xy’->‘xyz’
共进行了三次变换，使得 A$ 变换为B$。
【输入】
第一行为两个字符串A$，B$。
从第二行开始若干行，每一行均为一个变换规则。A1$ B1$；A2$ B2$；...（所有字符串长度的上限为20）。
【输出】
若在 10 步（包含 10步）以内能将 A$ 变换为 B$ ，则输出最少的变换步数；否则输出"NOANSWER!"
【样例输入】
abcd wyz
abc xu
ud y
y yz
【样例输出】
3
【分析】本题可采用双向宽度优先搜索求解。本题给出了一个非常强的限定条件，即若在10步之内不能将 A$ 变换为 B$，则判断为无解。因此，利用宽度优先搜索，深度为10。题目中给出规则数为6，对于单向宽度优先搜索，状态数最多为610，有可能超时。
再看题目，由于变换是双向的，即如果 A$ 能够通过 Ai$ Bi$ 变换到 B$，那么 B$ 也可通过相应反变换变为 A$。因此，可采用双向宽度优先搜索。从 A$ 出发搜索5层，从 B$ 出发反向搜索5层，判断有无重复。这样状态数降至2*610，肯定不会超时。
例题1-4：Mayan游戏（NOIP2011）
【问题描述】
Mayan puzzle 是最近流行起来的一个游戏。游戏界面是一个7 行5 列的棋盘，上面堆放着一些方块，方块不能悬空堆放，即方块必须放在最下面一行，或者放在其他方块之上。游戏通关是指在规定的步数内消除所有的方块，消除方块的规则如下：
1、每步移动可以且仅可以沿横向（即向左或向右）拖动某一方块一格：当拖动这一方块时，如果拖动后到达的位置（以下称目标位置）也有方块，那么这两个方块将交换位置（参见输入输出样例说明中的图6 到图7）；如果目标位置上没有方块，那么被拖动的方块将从原来的竖列中抽出，并从目标位置上掉落（直到不悬空，参见下面图1 和图2）；
1、任一时刻，如果在一横行或者竖列上有连续三个或者三个以上相同颜色的方块，则它们将立即被消除（参见图1 到图3）。
注意：
a) 如果同时有多组方块满足消除条件，几组方块会同时被消除（例如下面图4，三个颜色为1 的方块和三个颜色为2 的方块会同时被消除，最后剩下一个颜色为2 的方块）。
b) 当出现行和列都满足消除条件且行列共享某个方块时，行和列上满足消除条件的所有方块会被同时消除（例如下面图5 所示的情形，5 个方块会同时被消除）。
1、方块消除之后，消除位置之上的方块将掉落，掉落后可能会引起新的方块消除。注意：掉落的过程中将不会有方块的消除。上面图 1 到图3 给出了在棋盘上移动一块方块之后棋盘的变化。棋盘的左下角方块的坐标为（0,0），将位于（3, 3）的方块向左移动之后，游戏界面从图1 变成图2 所示的状态，此时在一竖列上有连续三块颜色为4 的方块，满足消除条件，消除连续3 块颜色为4 的方块后，上方的颜色为3 的方块掉落，形成图3 所示的局面。
【输入】
输入共6 行。
第一行为一个正整数 n，表示要求游戏通关的步数。
接下来的 5 行，描述7*5 的游戏界面。每行若干个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，每行以一个0 结束，自下向上表示每竖列方块的颜色编号（颜色不多于10 种，从1 开始顺序编号，相同数字表示相同颜色）。输入数据保证初始棋盘中没有可以消除的方块。
【输出】
如果有解决方案，输出n 行，每行包含3 个整数x，y，g，表示一次移动，每两个整数之间用一个空格隔开，其中（x，y）表示要移动的方块的坐标，g 表示移动的方向，1 表示向右移动，-1 表示向左移动。注意：多组解时，按照x 为第一关健字，y 为第二关健字，1优先于-1，给出一组字典序最小的解。游戏界面左下角的坐标为（0，0）。如果没有解决方案，输出一行，包含一个整数-1。
【样例输入】
3
1 0
2 1 0
2 3 4 0
3 1 0
2 4 3 4 0
【样例输出】
2 1 1
3 1 1
3 0 1
【样例说明】
按箭头方向的顺序分别为图 6 到图11
样例输入的游戏局面如上面第一个图片所示，依次移动的三步是：（2，1）处的方格向右移动，（3，1）处的方格向右移动，（3，0）处的方格向右移动，最后可以将棋盘上所有方块消除。
【数据范围】
对于 30%的数据，初始棋盘上的方块都在棋盘的最下面一行；
对于 100%的数据，0 < n≤5。
【分析】本题是一道比较复杂的搜索题。搜索时，按照字典序从小到大进行枚举，递归。本题的剪枝方案有：
（1） 搜索有层数限制，不用搜太多层
（2） 当左右两个点相同时，移动和不移动是一样的，则我们不用移动。
（3） 搜索每一个点，我们会发现将F[i,j]向右移和将F[i+1,j]向左移是一样的，则我们只搜索向右移的。
实际上，本题由于时限比较宽松，不用加太多优化就可以过，难点在于每一步枚举之后的状态更新较为繁琐，需注意。
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