NOIP--基本算法设计--组合数学

1. 概述：
    组合数学又被称为离散数学，是数学中的一个重要分支。在信息学领域，主要用到的内容为排列、组合、容斥原理等。

2. 知识点梳理：

Ø 加法原理与乘法原理    

加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋,…,＋mn种不同的方法。

乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有种mn不同的方法，那么完成这件事有N＝m1*m2*,…,*mn种不同的方法。

两个原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

Ø 排列  

  从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，记做m(n)或者m(n)。

计算公式：m(n)＝n(n－1)(n－2)……(n－m＋1)＝!(n!)

Ø 组合    

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，记做m(n)。

计算公式：m(n)＝m()＝m!(n－m＋1)＝!(n!)

加法递推：n-1(m)，边界条件n(n)。

乘法递推：n(m-1)，边界条件n(0)。

Ø 鸽巢原理（抽屉原理）    

简单形式：如果n＋1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。

加强形式：令q1, q2, ... ,qn为正整数。如果将q1＋q2＋…＋qn－n＋1个物体放入n个盒子内，那么或者第一个盒子至少含有q1个物体，或者第二个盒子至少含有q2个物体，…，或者第n个盒子含有qn个物体

Ø 容斥原理与错位排列  

  容斥原理又称排容原理，在组合数学里，其说明若A1, ..., An为有限集，则其中|A|表示A的基数。例如在两个集的情况时，我们可以透过将|A|和|B|相加，再减去其交集的基数，而得到其并集的基数。

错位排列即重新排列一个序列后，序列上每个元素的位置与初始位置都不同。计算错位排列的个数用到容斥原理，最终结果为

2. 重难点分析：   

 u 求解组合数学类题目时，需要明确该用哪种组合数学方法。  

 u 计算过程中，根据题目要求，使用直接求解公式或递推公式（一般使用递推公式）。   

 u 在需要用高精度运算情况下使用高精度。

3. 例题解析：  

  例题1-1：计算系数（NOIP2011）    

【问题描述】给定一个多项式(ax+by)k，其中k≤1000，请求出多项式展开后xnym的系数 (n+m=k)。这个系数可能很大，输出对10007取模后的结果。    

【分析】本题根据二项式定理，可知其解为mod 10007。对其进行求解，可先计算mod 10007，对于组合数，可按照组合数递推公式求解，用二维数组保存中间结果即可。

假如不知道二项式定理，本题也可直接展开求解。f(i,j)表示多项式(ax+by)i中第j项的值，递推更新即可。注意每一步都对10007取模。

 

NOIP信息学视频地址

视频地址

链接：https://pan.baidu.com/s/1tHo1DFMaDuMZAemNH60dmw 
提取码：7jgr