NOIP--基本算法设计--排序

一、概述

 排序，顾名思义，是将一些无序的数据按照一定的规则排列成一个有序序列的过程。排序的方法排序算法虽然很少在NOIP的考题中直接出现，但是它经常会是整体算法的一部分。熟练掌握排序算法，并在考场上快速编写，可在解题时为自己赢得更多的时间和分数。

二、1. 知识点梳理：

Ø 简单排序算法
插入排序：顺次枚举整个数列，将数列中的元素插入到当前已排好序的数列中。对于当前插入第i个元素时，前i-1个元素已经排好序，需要查找第i个元素在前i-1个元素的对应位置并插入。时间复杂度为O(N2)。

选择排序：就是每次选择最小（或最大的）值放到第一个，然后对剩余的数进行排序。时间复杂度为O(N2)。

冒泡排序：每次遍历整个数列，比较两个相邻的数的大小，如果与目标顺序不符，就交换。直到没有可以交换的数对为止。时间复杂度为O(N2)。

Ø 优化排序算法
快速排序：思路与分治的思路类似。在待排序序列中任取一个数，作为“标志”。扫描序列中的其他数，将比“标志”小（或大）的数放到它的左面，将其余的数放到它的右面。完成后，“标志”就把序列分成了两部分，一部分的数都比它小（或大），另一部分的数都不比它小（或大）。接下来，对被划分出的两部分分别进行上述操作。快速排序的最差情况下时间复杂度仍为O(N2)，但其平均时间复杂度为O(N log N)。一般情况下，选取标志位时，采用随机选取的方法，就可以避免最差情况的发生。

归并排序：思路也与分治的思路类似。数列划分为长度相等或接近的两部分，分别进行排序，再将这两个有序序列合并，生成一个有序的序列。在合并的过程中，由于前后两个序列均有序，每次只要比较两个序列中的最小（或大）值即可。用队列维护两个序列，每次比较队首元素，弹出较小（或大）值，直至一个队列为空，将剩余的数加到原弹出数列后。时间复杂度为O(N log N)。

堆排序：堆排序需要维护一个叫“堆”的数据结构（在数据结构章节会具体讲），依次从堆中弹出最小（或大）值，直至堆为空。弹出序列即为排序结果。时间复杂度为O(N log N)。

二叉树排序：二叉树排序需要维护一个“二叉排序树”的数据结构（在数据结构章节会具体讲）。将元素顺次插入到二叉排序树中，然后中序遍历整个树，即可得到排序结果。无优化的二叉排序树最坏时间复杂度为O(N2)，经过平衡优化的二叉排序树最坏时间复杂度为O(N log N)。

Ø 非基于比较的排序
桶排序：与上述基于比较的排序不同，桶排序给了另一种排序思路。桶排序先设计M个桶，根据数据的值进行分配。由于M个桶是按顺序排列的，所以分配元素之后元素也会按顺序排列。一般桶排序适用于数据范围比较小的情况。时间复杂度为O(max(N,M))。其中N为数据数目，M为数据范围（即包含多少种可能数据）。桶排序的思想跟散列表（Hash表）类似，在后续数据结构章节会具体讲解。

基数排序：基数排序是基于桶排序的一种排序算法。其思路是对n个数据（一般为整数）依次按1,2, ... , k-1, k位上的数字进行桶排序。时间复杂度为O(Nk)。其中k为数字的最大位数。

Ø 排序算法的稳定性
    当数据中包含相同元素，排序后它们的顺序与原顺序是否一致，即表明了该排序算法是否稳定。

在上述排序算法中，插入排序、选择排序、冒泡排序、归并排序、二叉树排序、桶排序、基数排序是稳定排序；快速排序、堆排序是不稳定排序。

事实上，所有非稳定排序只要将比较函数加强，也可成为稳定排序。即在原数据基础上，再加一个维度，表示原数据中的元素在初始序列中的位置，比较时，优先比较元素大小，当元素大小相同时，比较初始序列大小。

三、重难点分析：

u 基于比较的算法时间复杂度最优为O(N log N)，其证明可参看《算法设计与分析》中关于排序复杂度的介绍。

u 虽然快速排序、归并排序、堆排序、二叉排序树等算法时间复杂度均为O(N log N)，但是它们的复杂度常数不同。在纯粹排序的情况下，推荐使用快速排序。

u 虽然优化的排序算法时间复杂度比简单排序算法小，但是对于一些规模很小的数据，简单排序反而比优化排序快。

u 排序算法应熟练掌握并快速编写。

四、例题解析：

例题6-1：统计数字（NOIP2007）

【问题描述】某次科研调查时得到了n (n≤200,000) 个自然数，每个数均不超过1.5*109。已知不相同的数不超过10000个，现在需要统计这些自然数各自出现的次数，并按照自然数从小到大的顺序输出统计结果。

【分析】本题看n的上界，单纯使用优化的排序算法基本也没问题。但对于极限数据（相同元素比较多），快速排序有可能超时。但实际上当年的测试数据不包含此类极限数据。

本题的另一个条件是不相同的数不超过10000个，按照这个条件，很容易想到桶排序，但是由于数据范围较大，直接用桶排序不可行。对此，可用两种方式求解。

解法一：散列+排序。由于不相同的数10000个，可构造一个散列，存储有多少种不相同的数，以及每个数出现多少次。然后对这些出现的不同数进行排序，根据每个数出现的次数，生成最终的排序序列。时间复杂度为O(n + c log c)。其中c为不同元素个数。

解法二：二叉树排序。构造并维护一个平衡二叉排序树，每个节点保存其数值与出现次数，最后中序遍历即可。时间复杂度为O(n log c)。其中c为不同元素个数。

 

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