NOIP--基本算法设计--分治算法
一、 分治
概述：
将一个难以直接解决的大问题，分割成若干规模较小的相同问题，通过对子问题的求解来得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
1. 知识点梳理：
Ø 分治法的使用
分治法的使用基本是基于递归与回溯。先按照一定的分割方法，将原问题一步步分割为规模较小的子问题，递归调用求解子问题；然后在回溯时，利用子问题求解原问题的解。
Ø 用分治法解决的问题特点
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间没有交集。
Ø 分治法相关的常用算法
分治法是一个非常实用的算法思想，在设计检索、分类算法或某些速算算法中很有效。用分治法思想的常用算法有二分枚举、二分检索、快速排序、归并排序等。
2. 重难点分析：
u 分治算法设计时，子问题之间必须独立。
u 分治算法设计时，应考虑其复杂度。有时会设计出复杂度跟直接求解一样的“伪分治法”。
u 分治法实现时，应注意递归调用时的边界条件。
3. 例题解析：
例题5-1：求逆序对个数
【问题描述】对于一个序列a1，a2，a3，…，an，如果存在i<j，使ai>aj，那么ai，aj就是一个逆序对。现在给你一个有N (N≤100000) 个元素的序列，请求出序列内逆序对的个数。
例题5-2：循环赛日程表问题
【问题描述】设有2n（n≤6）个球队进行单循环比赛，计划在2n－1天内完成，每个队每天进行一场比赛。设计一个比赛的安排，使在2n－1天内每个队都与不同的对手比赛。例如n＝2时的比赛安排为：
【分析】
此题很难直接给出结果，我们先将问题进行分解。
设m＝2n，并将规模减半。假如n＝3（即m＝8），8个球队的比赛，减半后变成4个球队的比赛（m＝4）。4个球队的比赛的安排方式还不是很明显，再减半到两个球队的比赛（m＝2）。
两个球队的比赛安排方式很简单，只要让两个球队直接进行一场比赛即可：1-2
分析两个球队的比赛的情况不难发现，表格主体是一个对称的方阵，我们把这个方阵分成4部分（即左上、右上、左下、右下），右上部分可由左上部分加1（即加m/2）得到，而左上与右下部分、右上与左下部分分别相等。因此我们也可以把这个方阵看作是由m＝1的方阵所生成的。同理，可得m＝4的方阵：
同理可由m＝4方阵生成m＝8的方阵：
这样就构成了整个比赛的安排表。在算法设计中，用数组a记录2n个球队的循环比赛表，整个循环比赛表从最初的1×1方阵按上述规则生成2×2的方阵，再生成4×4的方阵……直到生成出整个循环比赛表为止。
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