NOIP--图论

图论当中最主要的组成部分

图。无图不成论，所以什么是图呢？我们一般用(Graph)来表示一张图，称为图。一张图可以表示为一个二元组，其中是点集，是边集，且（对于任意属于），为一个二元组且有。这就是图的定义。

其实我知道你们看不懂上面在说啥，上面只是一种形式化的定义。为了理解什么是图，我们换一种说法。考虑我们现在希望知道一些人之间的互相认识的关系。比如我们有个人，我们分别把他们叫做A、B、C。现在我们知道A和B互相认识，B和C互相认识，那么我们把每个人看做一个点，每对认识关系看做一条边，那么我们就可以画出这样一张图：

这张图中的每一个圆圈代表一个点对应一个人，每一条线代表一条边对应一对认识关系。所以我们可以从这张图里面读出以下信息：1、有三个人A、B、C。（因为有三个点）2、 A和B认识，B和C认识。（因为A和B之间、B和C之间有边）3、 A和C不认识。（因为A和C之间没有边）这就是最简单的一张图。通过上面这个简单的例子，大家对图论应该都有了一个简要的了解了

图论中的常见概念

1、有向图和无向图什么叫有向图？什么又叫无向图？我们要知道取这样的一个名字是有意义的，所以我们就直接从字面上来理解这两样东西。所谓有向图，就是有方向的图；所谓无向图，就是没有方向的图。那么什么叫有方向，什么叫没有方向呢？我们来看下面的图：

这个是什么意思呢？看左边的图，我们可以理解为A和B都互相认识，或者说从A可以走到B，从B也可以走到A。右边的图是什么意思呢？我们可以理解为A认识B但B不认识A，就像你认识熊本熊但是熊本熊并不认识你，也就是说我们只能从A走到B而不能从B走到A。如果一张图里面的边有些没有方向有些有方向呢？这种时候我们还是把这样的图叫做有向图。另外一点，所有的无向图都是可以表示为有向图的，方法如下图，这也是我们之后用来存储图的最常用的方法之一：（左右两张图是等价的）

2、路径和环我们首先来了解一下什么是路径。

我们来考虑一下这张图，我们可以从P出发走到A然后走到N，再继续走到D然后又走到A。我们所经过的这个点的序列(P,A,N,D,A)就叫做一条路径。同理我们可以举出(P,A,D)这样的路径。注意到这两条路径(P,A,N,D,A)和(P,A,D)有一个重要的区别是，路径(P,A,D)并没有经过重复的点而路径(P,A,N,D,A)则经过了重复的点。我们把没有经过重复的点的路径就叫做简单路径。

环的定义是在路径的定义的基础上做了一定的拓展：首尾相接的路径我们就把它叫做一个环，比如(A,N,D,A)。同样我们也有简单环，也就是除开首尾以外，剩下的部分不会经过重复的点的环就叫做简单环。除此之外，还有一种最特殊的环，叫做自环。什么是自环呢，看一张图你就明白了：