Luogu 3396 权值分块

Posted on 2016-09-29 10:35 yyjxx2010xyu 阅读(163) 评论(0) 编辑收藏举报

官方题解:这是一道论文题。集训队论文《根号算法——不只是分块》。

首先，题目要我们求的东西，就是下面的代码：

for(i=k;i<=n;i+=p)
    ans+=value[i];

即：从 k开始，每隔p个数取一个数，求它们的和。

这个算法的复杂度是 $O(n^2)$ 的。

令答案为 $ans[p][k]$ ，表示模数是p，余数是k.

那么，对于第i个数，如何处理它对ans的贡献呢？

for(p=1;p<=n;p++) //枚举模数
    ans[p][i%p]+=value[i]; //处理对应的贡献

这样看上去很妙的样子，然而 $O(n^2)$ 的预处理， $O(1)$ 询问，空间复杂度还是

$O(n^2)$ 的

所以我们很自然地想到：只处理 $[1,\sqrt{n}]$ 以内的p

这样的话，令 $size=\sqrt{n}$ ，则可以这样预处理：

for(p=1;p<=size;p++) //只枚举[1,size]中的
    ans[p][i%p]+=value[] //处理对应的贡献

于是预处理的复杂度降到了 $O(n\sqrt{n})$ .

接着考虑询问。如果询问的p<size ，那显然可以 $O(1)$ 给出回答。

如果p超过size，我们就暴力统计并回答。因为 $p>\sqrt{n}$ ，所以少于 $\sqrt{n}$ 个数对答案有贡献。所以对于 $p>\sqrt{n}$ ，暴力统计的复杂度是 $O(\sqrt{n})$ ..

接着考虑修改。显然我们把p<size的值全都更新一遍就行。复杂度也是 $O(\sqrt{n})$ .

void change(int i,int v) //将value[i]改为v
    {
    for(p=1;p<=size;p++)
    ans[p][i%p]=ans[p][i%p]-value[i]+v; //更新答案
    value[i]=v; //更新value数组 
}

这样，我们就在 $O((m+n)\sqrt{n})$ .的时间内完成了任务

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <cmath>
 6 using namespace std;
 7 const int Maxn=150100;
 8 const int Sqrt=2000;
 9 int n,m,Block,a[Sqrt][Sqrt],x,y,v[Maxn];
10 int main()
11 {
12     scanf("%d%d",&n,&m); Block=(int)sqrt(n);
13     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);
14     memset(a,0,sizeof(a));
15     for (int i=1;i<=Block;i++)
16         for (int j=1;j<=n;j++) a[i][j%i]+=v[j];
17     for (int i=1;i<=m;i++)
18     {
19         char ch=getchar();
20         while (ch!='A' && ch!='C') ch=getchar();
21         scanf("%d%d",&x,&y);
22         if (ch=='A')
23         {
24             if (x<=Block) printf("%d\n",a[x][y]); else 
25             {
26                 int Ret=0; for (int i=y;i<=n;i+=x) Ret+=v[i]; printf("%d\n",Ret);
27             }
28         }
29         if (ch=='C')
30         {
31             for (int i=1;i<=Block;i++) 
32                 a[i][x%i]=a[i][x%i]-v[x]+y;
33             v[x]=y;
34         }
35     }
36     return 0;
37 }

C++

其实这道题因为数据弱暴力都能过

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