母函数
（原文：http://www.wutianqi.com/?p=596）
(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)
在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"
"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造
由此可以看出:
1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
由此得到
母函数的定义：
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来接吻这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"
1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。
这里说下各项系数的意义：
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。
Tanky Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。
接着上面，接下来是第二种情况：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;
while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[n] << endl;
}
return 0;
}
我们来解释下上面标志的各个地方：
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4….)里，第j个就是x2*j.
③ k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
- 什么样的题型适合用母函数
母函数有普通型的，也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的，指数型的较少，主要用来求解多重排列的题型（我至今未涉及到有关指数型的母函数，希望读者提议，若以后碰到，我会加以补充），接下来，我重点说一下普通型母函数。
普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。
例如，对于有n种物品，如果第i个物品有ki个，我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一项表示对于第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意系数都为1，因为同种物品去i件，它的取法是1】多项相乘：因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】， 是组合计数的乘法原理， x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.（可以参考hduacm课件）
整数拆分
hdu 1028#include"iostream"
using namespace std;
#define N 130
int a[N+1],b[N+1];
int main()
{
int n,i,j,k;
while(cin>>n&&n!=0)
{
for(i=0;i<=n;i++)
{a[i]=1;b[i]=0;}
for(i=2;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
for(k=0;k+j<=n;k+=i)
{
b[k+j]+=a[j];
}
for(j=0;j<=n;j++)
{
a[j]=b[j];b[j]=0;
}
}
cout<<a[n]<<endl;
}
return 0;
}hdu 2028
hdu2028
#include"iostream"
using namespace std;
#define N 50
#define M 26
int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1];
int main()
{
int n,i,j,k,sum;
cin>>n;
while(n--)
{
sum=0;
for(i=0;i<26;i++)
{
cin>>a[i];
b[i]=i+1;
}
memset(c1,0,sizeof(c1));
memset(c2,0,sizeof(c2));
c1[0]=1;
for(i=0;i<26;i++)
{
for(j=0;j<=50;j++)
if(c1[j])
for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])
{
c2[k+j]+=c1[j];
}
for(j=0;j<=50;j++)
{c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}
}
for(i=1;i<=50;i++)
sum+=c1[i];
cout<<sum<<endl;
}
return 0;
}
2，需要什么样的母函数来求解
可以说不同的问题，有不同的解法，对于一道可以用母函数来求解的题而言，可能还有比母函数更简洁的方法，因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数，在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解，那么，该如何选定合适的母函数呢？
母函数的框架基本一样，
如hdu2082,
for(i=0;i<26;i++)
{
for(j=0;j<=50;j++)
if(c1[j])
for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])//关键
c2[k+j]+=c1[j];
for(j=0;j<=50;j++)
{
c1[j]=c2[j];
c2[j]=0;
}
}
如hdu1028,
for(i=2;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
for(k=0;k+j<=n;k+=i)//关键
{
b[k+j]+=a[j];
}
for(j=0;j<=n;j++)
{
a[j]=b[j];b[j]=0;
}
}注：根据题意，仔细分析，建立关系。
