Codeforces 903G Yet Another Maxflow Problem - 线段树

题目传送门

　　传送门I

　　传送门II

　　传送门III

题目大意

　　给定一个网络。网络分为$A$，$B$两个部分，每边各有$n$个点。对于$A_{i} \ (1\leqslant i < n)$会向$A_{i + 1}$连一条容量为$x_{i}$的有向边，对于$B_{i} \ (1\leqslant i < n)$会向$B_{i + 1}$连一条容量为$y_{i}$的有向边。$A$和$B$之间有$m$条边，起点为$A_{u_{i}}$，终点为$B_{v_{i}}$，容量为$w_{i}$的有向边。要求支持多次修改边的容量，询问$A_{1}$到$B_{n}$的最大流。

　　看起来不会退流的样子，所以应该可以用数据结构乱搞搞就能做出来。于是我想了很久但仍然不会。

　　因为最大流的流量等于最小割的容量，所以最大流不好做的时候考虑最小割。

　　直接考虑最小割的求解变成了最大流，这样没有用。考虑放宽一下约束条件，找一下怎样的割集是较优的。

　　一些显而易见的结论：

• 假如在$A$中，割掉$A_{x}$和$A_{x + 1}$之间的有向边，那么割掉$A_{y} \ (y > x)$与$A_{y + 1}$之间的有向边是没有意义的。
• 假如在$B$中，割掉$B_{x}$和$B_{x + 1}$之间的有向边，那么割掉$B_{y} \ (y < x)$与$B_{y + 1}$之间的有向边是没有意义的。

　　因此，在$A, B$中至多有一条边属于割集。

　　假设在$A$中被割掉的边是$(A_{x}, A_{x + 1})$，在$B$中被割掉的边是$B_{y}, B_{y + 1}$，那么任意$(A_{u}, B_{v}) \ (u \leqslant x \wedge v > y)$都是属于这个割集的。

　　因此，割的大小可以看做三部分：在$A$中的割集大小，在$B$中的割集大小，在$A, B$间的割集大小。

　　由于后两部分不会改变，考虑计算出它们。

　　考虑在$A$中从小到大枚举$A_{x}$，表示割掉$A_{x}$和$A_{x + 1}$之间的边，如果$x = n$表示不存在这条边。

　　那么下面要做的事情是在$B$中找到一个最优决策点$y$，使得后两部分的和最小。

　　对于每加入一条在$A,B$间的边，对答案造成的影响是连续的一段。

　　所以我们只需要写一个支持区间加，求$[1, n]$的最小值的线段树就好了。

　　到此，我们完美解决这道题了吗？

　　不，还剩下合并两部分的答案。这个可以用一个可删堆来维护。

　　时间复杂度$O((n + m + q)\log n)$。

Code

/**
 * Codeforces
 * Problem#903G
 * Accepted
 * Time: 451ms
 * Memory: 31200k
 */
#include <bits/stdc++.h>
#ifdef WIN32
#define Auto "%I64d"
#else
#define Auto "%lld"
#endif
using namespace std;

#define ll long long

typedef class SegTreeNode {
    public:
        ll minv, lazy;
        SegTreeNode *l, *r;

        SegTreeNode():minv(0), lazy(0), l(NULL), r(NULL)    {    }

        void pushUp() {
            minv = min(l->minv, r->minv);
        }

        void pushDown() {
            l->minv += lazy, r->minv += lazy;
            l->lazy += lazy, r->lazy += lazy;
            lazy = 0;
        }
}SegTreeNode;

#define Limit 500000

SegTreeNode pool[Limit];
SegTreeNode* top = pool;

SegTreeNode* newnode() {
    return top++;
}

typedef class SegTree {
    public:
        SegTreeNode* rt;

        SegTree() {    }
        SegTree(int n, int* ar) {
            build(rt, 1, n, ar);
        }

        void build(SegTreeNode*& p, int l, int r, int *ar) {
            p = newnode();
            if (l == r) {
                p->minv = ar[l];
                return;
            }
            int mid = (l + r) >> 1;
            build(p->l, l, mid, ar);
            build(p->r, mid + 1, r, ar);
            p->pushUp();
        }

        void update(SegTreeNode*& p, int l, int r, int ql, int qr, int val) {
            if (l == ql && r == qr) {
                p->minv += val, p->lazy += val;
                return;
            }
            if (p->lazy)    p->pushDown();
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (qr <= mid)
                update(p->l, l, mid, ql, qr, val);
            else if (ql > mid)
                update(p->r, mid + 1, r, ql, qr, val);
            else {
                update(p->l, l, mid, ql, mid, val);
                update(p->r, mid + 1, r, mid + 1, qr, val);
            }
            p->pushUp();
        }
}SegTree;

#define pii pair<int, int>

typedef class Heap {
    public:
        priority_queue<ll> que;
        priority_queue<ll> del;

        Heap()    {    }

        void insert(ll x) {
            que.push(-x);
        }

        void remove(ll x) {
            del.push(-x);
        }

        ll top() {
            while (!que.empty() && !del.empty() && que.top() == del.top())
                que.pop(), del.pop();
            return -que.top();
        }
}Heap;

int n, m, q;
int *cs1, *cs2;
vector<pii> *g;
Heap hp;
SegTree st;

inline void init() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    cs1 = new int[(n + 1)];
    cs2 = new int[(n + 1)];
    g = new vector<pii>[(n + 1)];
    cs1[n] = 0, cs2[1] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)
        scanf("%d%d", cs1 + i, cs2 + i + 1);
    for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u].push_back(pii(v, w));
    }
}

ll *olds;
inline void solve() {
    olds = new ll[(n + 1)];
    st = SegTree(n, cs2);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < (signed) g[i].size(); j++)
            st.update(st.rt, 1, n, 1, g[i][j].first, g[i][j].second);
        hp.insert(olds[i] = cs1[i] + st.rt->minv);
//        cerr << olds[i] << endl;
    }
    printf(Auto"\n", hp.top());
    int p, nw;
    while (q--) {
        scanf("%d%d", &p, &nw);
        hp.remove(olds[p]);
        olds[p] = olds[p] - cs1[p] + nw, cs1[p] = nw;
        hp.insert(olds[p]);
        printf(Auto"\n", hp.top());
    }
}

int main() {
    init();
    solve();
    return 0;
}