bzoj 2091 The Minima Game - 动态规划 - 博弈论

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题目大意

　　Alice和Bob轮流取$n$个正整数，Alice先进行操作。每次每人可以取任意多的数，得分是这一次取的所有数中的最小值。Alice和Bob都足够聪明，他们的策略都是让自己的得分减去对方的得分尽量大。问最终Alice的得分减去Bob的得分。

　　因为与顺序无关，所以考虑贪一下心。

　　因为使得分劲量大，所以肯定先把大的数取走。

　　又因为一次取的得分是所有取的数中的最小值，所以取走的数是排序后的连续的一段。否则对方可以取你间断的那一个数，这样显然不优。

　　所以用$f[i]$表示取走前$i$大后，Alice的得分减去Bob的得分，但是这样无法确定转移时谁在操作。

　　因此把这个游戏过程倒过来dp，用$f[i]$表示在前$i$小中进行游戏，先手减去后手的得分。

　　转移枚举剩下的局面就行了。

　　然后这样转移$O(n^{2})$。但是发现dp式子蜜汁雷同：$f[i] = \max_{j = 1}^{i - 1} \{f[j] + a_{j + 1}\}$

　　直接记一个东西就可以$O(1)$转移了。

　　时间复杂度$O(n\log n)$

Code

/**
 * bzoj
 * Problem#2091
 * Accepted
 * Time: 1440ms
 * Memory: 13016k
 */
#include <bits/stdc++.h>
#ifndef WIN32
#define Auto "%lld"
#else
#define Auto "%I64d"
#endif
using namespace std;

#define ll long long

int n;
ll *f;
int *ar;

inline void init() {
    scanf("%d", &n);
    f = new ll[(n + 1)]; 
    ar = new int[(n + 1)];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", ar + i);
} 

inline void solve() {
    sort(ar + 1, ar + n + 1); 
    f[1] = ar[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        f[i] = max(f[i - 1], ar[i] - f[i - 1]);
    printf(Auto"\n", f[n]);
}

int main() {
    init();
    solve();
    return 0;
}