bzoj 2216 Lightning Conductor - 二分法 - 动态规划

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题目大意

　　给定一个长度为$n$的数组，要求对每个$1 \leqslant i \leqslant n$找到最小整数的$p$，对于任意$j$满足使得$a_{i} + p - \sqrt{\left | i - j \right |} \geqslant a_{j}$。

　　一来想到函数$y = \left \lceil \sqrt{x} \right \rceil$，至多有根号个取值，然后发现$O(n\sqrt{n})$会稳T。

　　对于函数$y = \sqrt{x}$有一些很优美的性质，比如它的增长率不断递减（因为它的导数$y' = \frac{1}{\sqrt{x}}$，$y'$随$x$减小而减小）。

　　所以对于两个决策点$i, j$，若满足$i < j$，如果它们在转移到$p_{k}$的时候$i$没有$j$优，那么$i$不会比$j$优了。

　　同样的，如果$i$还是比$j$优，那么在$k$之前还是这样的。　　

　　因此决策点是单调的。

　　所以我们可以用整体二分的写法。

　　每次考虑$f[mid]$的函数值，找到它的最优决策点$pos$，那么可以确定左区间的决策点的范围，对于右区间同理。

Code

/**
 * bzoj
 * Problem#2216
 * Accepted
 * Time: 4516ms
 * Memory: 13032k
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef bool boolean;

int n;
int *csqr;
int *ar;
int *f, *g; 

inline void init() {
    scanf("%d", &n);
    csqr = new int[(n + 1)];
    ar = new int[(n + 1)];
    f = new int[(n + 1)];
    g = new int[(n + 1)];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", ar + i);
}

double *sqs;
void prepare() {
    sqs = new double[(n + 1)];
    sqs[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        sqs[i] = sqrt(i);
}

void dividing(int* f, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (l > r)    return;
    int mid = (l + r) >> 1, pos;
    double mx = 0.0, cmp;
    for (int i = ql; i <= qr && i <= mid; i++)
        if ((cmp = ar[i] + sqs[mid - i]) > mx)
            mx = cmp, pos = i;
    f[mid] = ceil(mx - ar[mid]);
    dividing(f, l, mid - 1, ql, pos);
    dividing(f, mid + 1, r, pos, qr);
}

inline void solve() {
    dividing(f, 1, n, 1, n);
    reverse(ar + 1, ar + n + 1);
    dividing(g, 1, n, 1, n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d\n", max(f[i], g[n - i + 1])); 
}

int main() {
    init();
    prepare();
    solve();
    return 0;
}