bzoj 2844 albus就是要第一个出场 - 线性基

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　　这是个通往vjudge的虫洞

　　这是个通往bzoj的虫洞

题目大意

　　给定集合$S$，现在将任意$A\subseteq S$中的元素求异或和，然后存入一个数组中（下标从1开始），然后从小到大排一个序。问$q$第一次出现在$A$中的下标。

　　我们可以通过线性基得到值域上有多少个异或和比$q$小，现在问题来了，怎么求$q$的下标。

　　通过打表找规律，以及手动枚举可以发现一个结论。

定理1 设线性基为$B$，那么在$S$的子集的异或和中，出现的异或和的出现的次数是$2^{\left | S \right |- \left | \mathfrak{B} \right |} $。

　　证明 假如要考虑异或出一个数$x$，基外选出的数的异或和为$s$，那么还需要$x$ ^ $s$，对于它，基内的线性表示的方法是唯一的。

　　所以定理得证。

　　于是再做一次快速幂，这道题就做完了。

　　PS:这道题数据有错，它没有保证$q$一定能被异或出来

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef bool boolean;

const int MAX_BASE = 31, M = 10086; 

int qpow(int a, int pos) {
    int pa = a, rt = 1;
    for ( ; pos; pos >>= 1, pa = pa * pa % M)
        if (pos & 1)
            rt = rt * pa % M;
    return rt;
}

int n, q;
int *ar;
int b[MAX_BASE];
int s[MAX_BASE];

inline void init() {
    scanf("%d", &n);
    ar = new int[(n + 1)];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", ar + i);
    scanf("%d", &q);
}

int cnt = 0, rk = 0;
inline void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = MAX_BASE - 1; ~j; j--) {
            if (ar[i] & (1 << j))    ar[i] ^= b[j]; 
            if (ar[i] & (1 << j)) {
                b[j] = ar[i];
                cnt++;
                break;
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < MAX_BASE; i++)
        if (b[i])
            s[i] = 1;
    for (int i = 0; i < MAX_BASE; i++)
        s[i] += s[i - 1];
    for (int i = MAX_BASE - 1; ~i; i--)
        if ((q & (1 << i)) && b[i])
            rk |= (1 << (s[i] - 1));
    printf("%d\n", ((rk % M) * qpow(2, n - cnt) + 1) % M);
}

int main() {
    init();
    solve();
    return 0;
}