bzoj 4591 超能粒子炮·改 - Lucas

Description

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

 

Input

第一行一个整数t。表示数据组数。

之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。

k<=n<=10^18，t<=10^5

 

Output

t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。

 

Sample Input

1
5 5

Sample Output

32

HINT

 

Source

By 佚名上传

题目大意

　　给定$n, k$，求$\sum_{i = 0} ^{k}C_{n}^{i}$模2333的余数。

　　显然Lucas。

　　$\sum_{i = 0} ^{k}C_{n}^{i}\\ =\sum_{i = 0} ^ {k}C_{n \% p}^{i\% p}C_{\left \lfloor \frac{n}{p}  \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{i}{p} \right \rfloor}\\ =\left (\sum_{i = 0}^{p}C_{n \% p}^{i\% p}  \right )\left ( \sum_{i = 0}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor - 1} C_{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor} ^ {\left \lfloor \frac{i}{p} \right \rfloor} \right ) + C_{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}\left ( \sum_{i = 0}^{k \% p}C_{n \% p}^{i} \right )$

　　考虑中间的一步可以进行递归计算。又因为$p = 2333$，所以最后一个前缀和可以预处理。

　　会出现一个较大的组合数，可以直接用Lucas算。

　　其实它可先用Lucas预处理，这样可以少个log。

Code

/**
 * bzoj
 * Problem#4591
 * Accepted
 * Time: 4140ms
 * Memory: 44008k
 */
#include <bits/stdc++.h>
#ifndef WIN32
#define Auto "%lld"
#else
#define Auto "%I64d"
#endif
using namespace std;
typedef bool boolean;
#define ll long long

const int p = 2333;

ll n, k;

int pow2[p + 5];
int C[p + 5][p + 5];
int sc[p + 5][p + 5];

inline void prepare() {
    pow2[0] = 1;
    for (int i = 1; i < p; i++)
        pow2[i] = (pow2[i - 1] << 1) % p;
    
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < p; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1; 
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % p; 
    }
    
    for (int i = 0; i < p; i++) {
        sc[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < p; j++)
            sc[i][j] = (sc[i][j - 1] + C[i][j]) % p; 
    }
}

inline void init() {
    scanf(Auto""Auto, &n, &k);
}

int Lucas(ll n, ll k) {
    if (!n && !k)    return 1;
    return Lucas(n / p, k / p) * C[n % p][k % p] % p;
}

int S(ll n, ll k) {
    if (k < 0)    return 0;
    return (pow2[n % p] * S(n / p, k / p - 1) + Lucas(n / p, k / p) * sc[n % p][k % p]) % p;
}

inline void solve() {
    printf("%d\n", S(n, k));
}

int T;
int main() {
    prepare();
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}