bzoj 2118 墨墨的等式 - 图论最短路建模

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

5

Hint

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

---

　　直接说正解，找到a_i中的一个数(通常找最小的那一个，这样可以降低时间复杂度，至于为什么，看完应该就知道了)，暂且设它为m吧。

　　我们知道如果存在一个x，它能够被凑出来，那么(x + m), (x + 2m), ...都可以被凑出来。现在我们要找到这么一个最小的x。先建立一些点0,1,2,...,m - 1,表示满足条件的B模m的值。暂时先不考虑如何求出一次Bmin ~ Bmax中满足条件的B，因为可以用0到Bmax中的方案数减去0到Bmin - 1中的方案数。每个点连n - 1条边，第i个点的第j条边连向第(i + a_j) % m个点，边权为a_j。

　　看似有些跑题了，现在来讲讲它在题目中的含义。现在我们希望求到所有满足条件的最小的x，我们知道,当B模m的值为0时，B最小为0。同时我们可以用这个推出与它相邻的点代表的最小的B。再仔细想想，多推一下，这不是等价于求最短路吗？也就是说，从节点0出发，到达i的距离表示，最小的B模m的值为i的B的值。

　　最后计算一下方案数（相信你会做）就好了。还有特殊处理当某个a等于0的时候，不然会整数被零除，然后无限RE。另外，贡献一发wa，建图注意是单向的，减个a_j就不知道是不是满足了，笑。

Code

/**
 * bzoj
 * Problem#2118
 * Accepted
 * Time:2888ms
 * Memory:93712k
 */
#include<iostream>
#include<fstream> 
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#ifndef WIN32
#define AUTO "%lld"
#else
#define AUTO "%I64d"
#endif
using namespace std;
typedef bool boolean;
#define inf 0xfffffff
#define smin(a, b) (a) = min((a), (b))
#define smax(a, b) (a) = max((a), (b))
template<typename T>
inline boolean readInteger(T& u) {
    char x;
    int aFlag = 1;
    while(!isdigit((x = getchar())) && x != '-' && x != -1);
    if(x == -1)    {
        ungetc(x, stdin);
        return false;
    }
    if(x == '-') {
        aFlag = -1;
        x = getchar();
    }
    for(u = x - '0'; isdigit((x = getchar())); u = u * 10 + x - '0');
    u *= aFlag;
    ungetc(x, stdin);
    return true;
}

///map template starts
typedef class Edge{
    public:
        int end;
        int next;
        int w;
        Edge(const int end = 0, const int next = 0, const int w = 0):end(end), next(next), w(w) {    }
}Edge;

typedef class MapManager{
    public:
        int ce;
        int *h;
        Edge *edge;
        MapManager() {    }
        MapManager(int points, int limit):ce(0) {
            h = new int[(const int)(points + 1)];
            edge = new Edge[(const int)(limit + 1)];
            memset(h, 0, sizeof(int) * (points + 1));
        }
        inline void addEdge(int from, int end, int w) {
            edge[++ce] = Edge(end, h[from], w);
            h[from] = ce;
        }
        Edge& operator [] (int pos) {
            return edge[pos];
        }
}MapManager;
#define m_begin(g, i) (g).h[(i)]
///map template ends

int n;
long long bmin, bmax;
MapManager g;
int* a;
int moder = inf;

inline void init() {
    readInteger(n);
    readInteger(bmin);
    readInteger(bmax);
    a = new int[(const int)(n + 1)];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        readInteger(a[i]);
        if(a[i] == 0) {
            i--, n--;
            continue;
        }
        smin(moder, a[i]);
    }
}

boolean *visited;
long long* dis;
queue<int> que;
inline void spfa(int s) {
    visited = new boolean[(const int)(moder)];
    dis = new long long[(const int)(moder)];
    memset(visited, false, sizeof(boolean) * (moder));
    memset(dis, 0x7f, sizeof(long long) * (moder));
    dis[s] = 0;
    que.push(s);
    while(!que.empty()) {
        int e = que.front();
        que.pop();
        visited[e] = false;
        for(int i = m_begin(g, e); i != 0; i = g[i].next) {
            int &eu = g[i].end;
            if(dis[e] + g[i].w < dis[eu]) {
                dis[eu] = dis[e] + g[i].w;
                if(!visited[eu]) {
                    que.push(eu);
                    visited[eu] = true;
                }
            }
        }
    }
}

inline long long calc(long long x) {
    long long ret = 0;
    for(int i = 0; i < moder; i++) {
        if(dis[i] <= x)
            ret += (x - dis[i]) / (long long)moder + 1;
    }
    return ret;
}

inline void solve() {
    g = MapManager(moder, moder * n * 2);
    for(int i = 0; i < moder; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            if(a[j] == moder) continue;
            g.addEdge(i, (i + a[j]) % moder, a[j]);
        }
    }
    spfa(0);
    long long res = calc(bmax) - calc(bmin - 1);
    printf(AUTO, res);
}

int main() {
    init();
    solve();
    return 0;
}