波动方程-初值问题-达朗贝尔公式的推导

1|01. 波动方程-初值问题-达朗贝尔公式的推导

1|11.1. 问题

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}：u_{tt}=a^2{u}_{xx},x\in R,t>0\\ \mathrm{初}\mathrm{位}\mathrm{移}：u{|}_{t=0}=\phi (x)\\ \mathrm{初}\mathrm{速}\mathrm{度}：u_t{|}_{t=0}=\psi (x)\end{array}\end{array}$$

1|21.2. 结论

$$u=\frac{1}{2}[\phi (x-at)+\phi (x+at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (🔺)d🔺$$

1|31.3. 理论推导

作方程类型判断（视t为y）：

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4AC=0-4\times a^2\times (-1)=4a^2>0,\mathrm{为}\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{型}$$

由特征方程：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& d{x}^2-a^{2}d{t}^2=0\end{array}$$

知：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (\frac{dx}{dt}{)}_1=a,(\frac{dx}{dt}{)}_2=-a\end{array}$$

对(3)积分，有：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}x-at=C_1\\ x+at=C_2\end{array}\end{array}$$

对(1)作变量代换：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}🔺=x-at\\ ⚪=x+at\end{array}\end{array}$$

则有：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& u_{🔺,⚪}=0\end{array}$$

对 (6)积分则有：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& u=f(🔺)+g(⚪)\end{array}$$

将u代入初始条件，有：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \{\begin{array}{l}\mathrm{初}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论}：f(x)+g(x)=\phi (x)\\ \mathrm{初}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论}：a[-f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)]=\psi (x)\end{array}\end{array}$$

对上式初速度条件得到的方程两边积分，有：

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \mathrm{初}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论}\mathrm{的}\mathrm{推}\mathrm{论}：-f(x)+g(x)=\frac{1}{a}{\int }_{x_0}^x\psi (\lambda )d\lambda +C\end{array}$$

整理 (8)、(9)，得到：

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{l}\mathrm{初}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论}：f(★)+g(★)=\phi (★)\\ \\ \mathrm{初}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论}\mathrm{的}\mathrm{推}\mathrm{论}：-f(★)+g(★)=\frac{1}{a}{\int }_{x_0}^{★}\psi (\lambda )d\lambda +C\end{array}\end{array}$$

联立求解上式得到：

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \{\begin{array}{l}f(★)=\frac{1}{2}\phi (★)-\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^{★}\psi (😊)d😊-\frac{C}{2}\\ g(★)=\frac{1}{2}\phi (★)+\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^{★}\psi (😊)d😊+\frac{C}{2}\end{array}\end{array}$$

整理之前的变量变换结果：

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \{\begin{array}{l}u(x,t)=f(🔺)+g(⚪)\\ 🔺=x-at\\ ⚪=x+at\end{array}\end{array}$$

将 (12)代入 (11)，得到

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \{\begin{array}{l}f(x-at)=\frac{1}{2}\phi (x-at)-\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^{x-at}\psi (😊)d😊-\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\phi (x-at)+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x_0}\psi (😊)d😊-\frac{C}{2}\\ g(x+at)=\frac{1}{2}\phi (x+at)+\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^{x+at}\psi (😊)d😊+\frac{C}{2}\end{array}\end{array}$$

将 (13)结果代入 (12)，于是得到解的表达式，如下：

$$\begin{array}{}\text{(14)}& u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x-at)+\phi (x+at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (😊)d😊\end{array}$$

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本文作者：永远的纸条
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