上下界网络流的建模

【目录】

• 无源汇可行流
• 有源汇可行流
• 有源汇最大流
• 有源汇最小流
• 有源汇费用流

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无源汇可行流

给出一个网络，没有源点和汇点，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，能否满足所有的流量限制？

问题分析

设该网络为\(G=(V,E)\)，限制条件为每个点都应该满足"流量守恒"，即
对于\(\forall x \in G\)，有

\[\sum\limits_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum\limits_{(x,v)\in E}f(x,v) \]

设边\(e\)的下界为\(lower(e)\)，上界为\(upper(e)\)，则流量\(f(e)\)应满足

\[lower(e)\leq f(e) \leq upper(e) \]

要求判断是否存在一种可行方案。

建模方式

考虑先处理掉每条边的流量下界，即强制让当前每条边\(e\)的流量\(f(e)\)=\(lower(e)\)。但这样会导致无法满足"流量守恒"。现在的问题是，每条边仅有流量上界\(upper(e)-lower(e)\)，要给每条边增加一些流量，使所有结点满足"流量守恒"。

• 首先建立附加源\(s'\)，附加汇\(t'\)

当每条边的流量都为下界流量时，结点\(x\)存在总流入与总流出，设\(d(x)=\)总流入\(-\)总流出。考虑去平衡每个点的流量

• 当总流入>总流出时，建边\((s',x)\)，容量为\(d(x)\)
• 当总流入<总流出时，建边\((x,t')\)，容量为\(-d(x)\)

然后考虑每条边的流量上界

• 对于原网络中的每条边\(e=(x,y)\)，建边\((x,y)\)，容量为\(upper(e)-lower(e)\)。

在新网络上求解\(s\rightarrow t\)的最大流，若所有从\(s'\)出发的边的流量都满载，则存在可行流。
当新网络求解出最大流后的残量网络中边\(e\)的流量为\(f(e)\)时，原图中该边的流量为\(f(e)+lower(e)\)。

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有源汇可行流

给出一个网络，有源点\(s\)和汇点\(t\)，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，能否满足所有的流量限制？

问题分析

与无源汇可行流相比只是多了一个只有流出的源点\(s\)，和一个只有流入的汇点\(t\)。

建模方式

在原网络的基础上，建边\(e=(t,s)\)，下界\(lower(e)=0\)，上界\(upper(e)=\infty\)。不难发现问题转化为了无源汇可行流问题。

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有源汇最大流

给出一个网络，有源点\(s\)和汇点\(t\)，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，\(s\rightarrow t\)的最大流？

问题分析

先用有源汇可行流的方法求出可行流，然后考虑求解最大流。

建模方式

参照有源汇可行流的方法求出可行流，此时从附加源\(s'\)到附加汇\(t'\)的所有路径均不能再增广。但从\(s\)到\(t\)的路径仍有可能存在增广路，因此要在求解过可行流的残量网络上求解\(s\rightarrow t\)的最大流。

于是 原图最大流 \(=\) 可行流 \(+\) \(s\rightarrow t\)最大流。

至于可行流的大小，有一个简便的求法，在求出可行流后，边\((t,s)\)的流量就是可行流的大小。

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有源汇最小流

给出一个网络，有源点\(s\)和汇点\(t\)，每条边有一个最低流量和一个最高流量，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，\(s\rightarrow t\)的最小流？

问题分析

可以仿照有源汇最大流的思路，先求出可行流，在求出最小流。

建模方式

仍然是先求出可行流。考虑有源汇最大流在求解时增加了残量网络上还能增加的流量，那么有源汇最小流就应该在残量网络上减去还能减少的流量。
求解出可行流后，删去边\((t,s)\)，再求解\(t\rightarrow s\)的最大流。
则 原图最小流 \(=\) 可行流 \(-\) \(t\rightarrow s\)最大流。

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有源汇费用流

给出一个网络，有源点\(s\)和汇点\(t\)，每条边有一个最低流量和一个最高流量和费用，问在满足流量平衡（流入等于流出）的前提下，\(s\rightarrow t\)的最小费用最大流？

问题分析

设边\(e\)的费用为\(cost(e)，\)类比最大流即可。

建模方式

• 首先建立附加源\(s'\)，附加汇\(t'\)
• 建边\((t,s)\)，流量为\(\infty\)，费用为\(0\)

当每条边的流量都为下界流量时，结点\(x\)存在总流入与总流出，设\(d(x)=\)总流入\(-\)总流出，则

• 当总流入>总流出时，建边\((s',x)\)，容量为\(d(x)\)，费用为\(0\)
• 当总流入<总流出时，建边\((x,t')\)，容量为\(-d(x)\)，费用为\(0\)

然后是源网络中的边

• 对于原网络中的每条边\(e=(x,y)\)，建边\((x,y)\)，容量为\(upper(e)-lower(e)\)，费用为\(cost(e)\)。

先求解可行流，在求解\(s\rightarrow t\)的最小费用最大流。
则 原图最小费用 \(=\) 原图中每条边下界流量的费用 \(+\) \(s\rightarrow t\)最小费用。