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莫比乌斯函数
定义
莫比乌斯函数\(\mu(n)\)，当\(n=1\)时，\(\mu(n)=1\)；当\(n>1\)时，设\(n\)的唯一分解式为\(n=p_1^{c_1}\cdots p_k^{c_k}\)，则\(\mu(n)\)定义为
\[\mu(n)=
\begin{cases}
(-1)^k,c_1=c_2=\cdots=c_k=1 \\
0, \exists\, c_i>1(1\leq i\leq k)\\
\end{cases}\]
性质
- \(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
注：约定方括号[]中为一个命题，其结果为\(1\)（该命题为真），或为\(0\)（该命题为假）。例如\([p为质数]\)=\(\begin{cases}
1,p是质数 \\
0,p不是质数 \\
\end{cases}\)
证明：\(n=1\)时，显然成立；现设\(n>1\)，\(n\)的唯一分解式为\(n=p_1^{c_1}\cdots p_k^{c_k}\)，则
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{d|n}\mu(d) =&\mu(1)+\mu(p_1)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)\\
&+\cdots +\mu(p_{k-1}p_k)+\cdots+\mu(p_1\cdots p_k)\\
=&1+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k\\
=&(1-1)^k=0
\end{aligned}\]
- \(\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}\)
证明：
因为\(\varphi(n)=n\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right)\)，其中\(n=p_1^{c_1}\cdots p_k^{c_k}\)是\(n\)的标准分解式，利用\(\mu(n)\)，可得\(\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}\)。
莫比乌斯反演
观察这两个等式
\[\begin{aligned}
n&=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=\sum\limits_{d|n}\varphi\left(\dfrac{n}{d}\right)\\
\varphi(n)&=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}=\sum\limits_{d|n}\mu\left(\dfrac{n}{d}\right)d\\
\end{aligned}\]
考虑将其推广至一般情况
莫比乌斯变换
对于数论函数\(f(n),g(n)\)，若
\[f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)=\sum\limits_{d|n}g\left(\dfrac{n}{d}\right)
\]
则称\(f(n)\)为\(g(n)\)的莫比乌斯变换，而\(g(n)\)为\(f(n)\)的莫比乌斯逆变换。
反演公式
若有两个数论函数\(f(n),g(n)\)满足
\[f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\qquad \qquad (1)
\]
则有
\[g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f\left(\dfrac{n}{d}\right) \qquad \qquad (2)
\]
反过来，若满足\((2)\)，则\((1)\)也成立。
证明： 若\(f(n),g(n)\)满足\((1)\)，则
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{d|n}\mu(d)f\left(\dfrac{n}{d}\right)&=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{d'|\frac{n}{d}}g(d')\\
&=\sum\limits_{dd'|n}\mu(d)g(d')\\
&=\sum\limits_{d'|n}\sum\limits_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)g(d')\\
&=\sum\limits_{d'|n}g(d')\sum\limits_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)\\
&=g(n)\\
\end{aligned}\]
反过来，设\(f(n),g(n)\)满足\((2)\)，同法可证
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{d|n}g(d)&=\sum\limits_{d|n}g\left(\dfrac{n}{d}\right)\\
&=\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{d'|\frac{n}{d}}\mu\left(\dfrac{n}{dd'}\right)f(d')\\
&=\sum\limits_{dd'|n}\mu\left(\dfrac{n}{dd'}\right)f(d')\\
&=\sum\limits_{d'|n}f(d')\sum\limits_{d|\frac{n}{d'}}\mu\left(\dfrac{n}{dd'}\right)\\
&=f(n)\\
\end{aligned}\]
在OI中的应用
通常，在OI竞赛中，应用莫比乌斯反演的关键在于构造如下的式子
\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))
\]
其中\(f(n)\)是一个积性函数。
构造数论函数\(g(n)\)满足\(f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\)，
由莫比乌斯反演公式得\(g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f\left(\dfrac{n}{d}\right)\)。
化简原式
\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}g(d)
\]
因为\(d|\gcd(i,j)\Leftrightarrow d|i,d|j\)，所以\(d\)必须是\(i,j\)的约数
考虑对每个\(d\)，枚举\(d\)的倍数，接着化简
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))&=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\sum\limits_{d|i}^n \sum\limits_{d|j}^mg(d)\\
&=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor g(d)
\end{aligned}\]
这样只需要枚举\(d\)，就能求出\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))\)，时间复杂度为\(O(n)\)。
考虑\(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\)可以使用数论分块，再预处理一下\(g(n)\)的前缀和，时间复杂度降至\(O(\sqrt n)\)。
至于\(g(n)\)的计算，因为\(g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f\left(\dfrac{n}{d}\right)\)，而\(f(n),\mu(n)\)为积性函数，所以\(g(n)\)也是积性函数。参考这篇博客，\(g(n)\)可以在线性时间内求出。
