bzoj 5093 图的价值
题目大意：
求所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和
一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和
思路：
枚举每个点的度数，以及选哪些点与其相连，其他的边无所谓，则该点的贡献为$2^{m-n+1}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n-1}{i} * i^k $
由于所有点是等价的因此总答案为$n * 2^{m-n+1}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n-1}{i} * i^k $
把$i^k$拆开得到$n * 2^{m-n+1}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n-1}{i} \sum\limits_{j=0}^k \binom{i}{j} *S2(k,j)*j!$
交换求和顺序得到：$n * 2^{m-n+1} \sum\limits_{j=0}^k *S2(k,j)*j! \sum\limits_{i=0}^n \binom{n-1}{i} \binom{i}{j} $
把后面的组合数拆开得到：$n * 2^{m-n+1} \sum\limits_{j=0}^k *S2(k,j)*j! \sum\limits_{i=0}^n \frac{(n-1)!}{(i!)*(n-1-i)!}\frac{i!}{(j!)*(i-j)!} $
把$i!$约掉再上下同乘$(n-j)!$ ，得到：$\frac{(n-1)!}{(j!)*(n-1-j)!} \frac{(n-1-j)!}{(i-j)!*(n-i-1)!}=\binom{n-1}{j} \binom{n-1-j}{i-j}$
提出$\binom{n-1}{j}$ 得到 ：$n * 2^{m-n+1} \sum\limits_{j=0}^k *S2(k,j)*j! * \binom{n-1}{j}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n-1-j}{i-j}$
发现后面是一整行的杨辉三角变成$2^{n-1-j}$得：$n * 2^{m-n+1} \sum\limits_{j=0}^k *S2(k,j)*j! * \binom{n-1}{j} *2^{n-1-j}$
那么需要求出斯特林数即可。把斯特林数拆开得到$f(i)=\frac{(-1)^i}{i!},g(i)=\frac{i^k}{i!}$ 卷积之后得到斯特林数
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cmath> 6 #include<algorithm> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<map> 10 #include<set> 11 #define ll long long 12 #define db double 13 #define inf 2139062143 14 #define MAXN 400100 15 #define MOD 998244353 16 #define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i<=i##__end;++i) 17 #define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i>=i##__end;--i) 18 #define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i]) 19 #define pb(i,x) vec[i].push_back(x) 20 #define pls(a,b) ((a+b)%MOD+MOD)%MOD 21 #define mns(a,b) ((a%MOD-(b)%MOD)%MOD+MOD)%MOD 22 #define mul(a,b) (1LL*(a)*(b))%MOD 23 using namespace std; 24 inline int read() 25 { 26 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 27 while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} 28 while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} 29 return x*f; 30 } 31 int n,k,a[MAXN<<1],b[MAXN<<1],fac[MAXN],ifac[MAXN]; 32 int rev[MAXN<<1],lim,lg,pw[30],ipw[30],ans; 33 int q_pow(int bas,int t,int res=1) 34 { 35 for(;t;t>>=1,bas=mul(bas,bas)) if(t&1) res=mul(res,bas);return res; 36 } 37 #define inv(x) q_pow(x,MOD-2) 38 void ntt(int *a,int n,int f) 39 { 40 rep(i,0,n-1) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); 41 for(int i=1,t=1;i<n;i<<=1,++t) 42 { 43 int wn= f>0?pw[t]:ipw[t];for(int j=0;j<n;j+=i<<1) 44 { 45 int w=1,x,y;for(int k=0;k<i;++k,w=mul(w,wn)) 46 x=a[j+k],y=mul(a[j+k+i],w),a[j+k]=pls(x,y),a[j+k+i]=mns(x,y); 47 } 48 } 49 if(f>0) return ;int nv=inv(n);rep(i,0,n-1) a[i]=mul(a[i],nv); 50 } 51 int main() 52 { 53 n=read(),k=read();fac[0]=ifac[0]=1;rep(i,1,k) fac[i]=mul(fac[i-1],i),ifac[i]=inv(fac[i]); 54 int tmp=-1;rep(i,0,k) tmp=(MOD-tmp)%MOD,a[i]=mul(tmp,ifac[i]); 55 rep(i,1,k) b[i]=mul(ifac[i],q_pow(i,k)); 56 for(lim=1,lg=1;lim<=(k+1<<1);lim<<=1,lg++) 57 pw[lg]=q_pow(3,(MOD-1)/(1<<lg)),ipw[lg]=inv(pw[lg]); 58 rep(i,1,lim-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<lg-2); 59 ntt(a,lim,1);ntt(b,lim,1);rep(i,0,lim-1) a[i]=mul(a[i],b[i]);ntt(a,lim,-1); 60 tmp=1;rep(i,0,k) ans=pls(ans,mul(mul(tmp,a[i]),q_pow(2,(n-2-i+MOD)%(MOD-1)))),tmp=mul(tmp,n-1-i); 61 printf("%d\n",mul(mul(ans,n),q_pow(2,((1LL*n*(n-1)>>1)-n+1)%(MOD-1)))); 62 }
