极大似然估计&最大后验概率估计
https://guangchun.wordpress.com/2011/10/13/ml-bayes-map/
http://www.mi.fu-berlin.de/wiki/pub/ABI/Genomics12/MLvsMAP.pdf
经验风险最小化：
\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))
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结构风险最小化：
\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)
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李航博士《统计学习方法》中第一章第九页中有两个论断
1 当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化就等价于极大似然估计。
2 当模型是条件概率分布、损失函数是对数损失函数、模型复杂度由模型的先验概率表示时，结构风险最小化就等价于最大后验概率估计
证明论断1：
极大似然估计：对于观测的随机变量D，其总体分布为
P(D;\theta) |
S为抽样得到的样本，
S=(s_1,s_2,...,s_N) |
样本是独立同分布得到的，因此样本的分布为
L(\theta) = \prod_{i=1}^{N} P(s_i;\theta)
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当
S=(s_1,s_2,...,s_N) |
确定，则上式可以看做是
的函数。
\theta |
这个函数反映了在观察结果已知的情况下，
\theta |
的“似然程度”，因此上式被叫做似然函数。用似然程度最大的那个
\theta_{*}
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去做
\theta |
的估计，这种估计方法叫做"极大似然估计"。取对数，极大平均似然函数为：
\max log L(\theta)=\max \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}log P(s_i;\theta)
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上式等价于
\min -log L(\theta)=\min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} -log P(s_i;\theta)
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在统计学习中，S就是样本，
s_{i}=(x_i,y_i).x_i\mbox{为特征,}y_i{为标签}
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当模型是条件概率分布时，则
P(s_i;\theta)=P(y_i|x_i;\theta) |
\min -log L(\theta)=\min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} -log P(y_i|x_i;\theta) -----（1）
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当损失函数是对数损失函数(
L(Y,P(Y|X)) = -log P(Y|X) |
)，则最小化经验风险的公式为
\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))
=\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,p(y_i|x_i;\theta))
=\min \limits_{f\in \mathcal{F}} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} -log p(y_i|x_i;\theta) -----（2）
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对比(1)(2)两个公式，论断1得证。
证明论断2
极大似然估计将
\theta |
看做是一个确定但未知的常量，而贝叶斯学派则认为
\theta |
可以看做一个随机变量，从这个视角出发可得到条件概率
P(\theta|S) |
因此利用贝叶斯公式得到
P(\theta|S)=\frac{P(S|\theta)P(\theta)}{P(S)}
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最大后验概率估计是要最大化
P(\theta|S) |
这个后验概率，因此
\max P(\theta|S) = \max P(S|\theta)P(\theta) |
上式与极大似然估计相比，只多了个
P(\theta) |
，左边和极大似然估计一样，因此对左边取对数处理求平均似然最大
\max \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} log P(s_i|\theta)+log P(\theta)
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当模型是条件概率分布时，则
P(s_i;\theta)=P(y_i|x_i;\theta) |
因此，
\max \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} log P(y_i|x_i;\theta)+log P(\theta)
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取负号，转换为
\min \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} -log P(y_i|x_i;\theta)-log P(\theta) -----(3)
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当损失函数是对数损失函数(
L(Y,P(Y|X)) = -log P(Y|X) |
)，模型是条件概率分布时,
结构风险最小化公式
\min \limits_{f\in F} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f)
=\min \limits_{f\in F} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} -log P(y_i|x_i;\theta)+\lambda J(f) -----(4)
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比较公式(3)(4)，则当
\lambda J(f) = -log P(\theta) |
两者等价，论断2得证。
(汉武提问，
\lambda |
在(4)中没有出现，其实
\lambda |
为超参，在模型中一般首先指定，如果为1/2 , 则
-1/2*2log P(\theta) |
), 所以无论怎么取，都可以得到对应的使得等价。
