bzoj 3225: [Sdoi2008] 立方体覆盖 题解

【原题】

3225: [Sdoi2008]立方体覆盖

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Description

　　A君近日为准备省队选拔。特意进行了数据结构的专项训练。训练过程中就遇到了“矩形面积并”这道经典问题。即：给出N个各边与坐标轴平行(垂直)的矩形，求矩形覆盖的面积之和。

A君按纵坐标建立线段树后按横坐标扫描计算。轻易AC了这道题，时间复杂度为O(NlogN)。

　　为了强化训练。A君将问题推广到三维空间中，即：给出N个各棱与坐标轴平行(垂直)的立方体，求立方体覆盖的体积之和。为了简化问题，令立方体均退化为正立方体，用四元组(x, y, z, r)表示一个立方体，当中x, y, z为立方体的中心点坐标。r为中心点到立方体各个面的距离(即立方体高的一半)。

　　这次可难住了A君。仅仅好请你——未来的金牌——来帮助他了。

 

Input

　　第一行是一个正整数N。

　　下面N行每行四个整数x, y, z, r，由空格隔开。

 

Output

 

　　共一个数，即覆盖的整体积。

 

Sample Input

3
0 0 0 3
1 –1 0 1
19 3 5 6

Sample Output

1944

HINT

对于 100% 的数据。1≤N≤100

对于 100% 的数据，-1000≤x, y, z≤1000。1≤r≤200

【做法1】n=100？暴力能过吗？暴力离散、统计。。极限效率大概是：200^3*100。并且去重能够提高一点效率。

【代码1】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 210
using namespace std;
int n,X,Y,Z,R,hx,hy,hz,tx,ty,tz,i,j,k,p,flag,ans;
int x1[N],x2[N],y1[N],y2[N],z1[N],z2[N],xx[M],yy[M],zz[M],x[M],y[M],z[M];
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%d%d%d%d",&X,&Y,&Z,&R);
    x1[i]=X-R;x2[i]=X+R;
    y1[i]=Y-R;y2[i]=Y+R;
    z1[i]=Z-R;z2[i]=Z+R;
  }
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    xx[++hx]=x1[i];xx[++hx]=x2[i];
    yy[++hy]=y1[i];yy[++hy]=y2[i];
    zz[++hz]=z1[i];zz[++hz]=z2[i];
  }
  sort(xx+1,xx+hx+1);xx[0]=xx[1]-1;
  sort(yy+1,yy+hy+1);yy[0]=yy[1]-1;
  sort(zz+1,zz+hz+1);zz[0]=zz[1]-1;
  for (i=1;i<=hx;i++) if (xx[i]!=xx[i-1]) x[++tx]=xx[i];
  for (i=1;i<=hy;i++) if (yy[i]!=yy[i-1]) y[++ty]=yy[i];
  for (i=1;i<=hz;i++) if (zz[i]!=zz[i-1]) z[++tz]=zz[i];
  for (i=1;i<tx;i++)
    for (j=1;j<ty;j++)
      for (k=1;k<tz;k++)
      {
        flag=1;
        for (p=1;p<=n&&flag;p++)
          if (x1[p]<=x[i]&&x[i+1]<=x2[p]&&y1[p]<=y[j]&&y[j+1]<=y2[p]&&z1[p]<=z[k]&&z[k+1]<=z2[p])
            flag=0;
        if (!flag) ans+=(x[i+1]-x[i])*(y[j+1]-y[j])*(z[k+1]-z[k]);
      }
  printf("%d",ans);
  return 0;
}

【分析2】那么我们就乖乖地写标算。显然。直接线段树套线段树有点虚啊。

于是我先枚举离散后的H，再次基础上建立满足条件的x和y。这样转化成了经典的NLOG(N)的矩形面积并了。

利用扫描线的思想。把每一条竖边取出并按x从左到右快排。然后扫描。假设一条边是始边，把线段树中的y1--y2加1。否则把y1--y2减1。然后对于每个不同的x，把线段树中覆盖层数大于1的个数*(x[i+1]-x[i])。

这个线段树的细节非常多。比方线段树建立是l~mid,mid~r。然后叶子节点是l~l+1。

【代码2】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 105
#define A 1200
#define M 210
using namespace std;
struct Tree{int l,r,sum,cover;}a[M*2*16];
struct arr
{
  int x,l,r,p;
  friend  bool operator < (const arr &a,const arr &b)
  {
    if (a.x!=b.x) return a.x<b.x;
    return !a.p&&b.p;
  }
}E[M*2];
int n,X,Y,Z,r,hz,tz,L,R,i,j,k,opt,h,hy,ty,p,tot,flag,temp,H,W,ans;
int x1[N],x2[N],y1[N],y2[N],z1[N],z2[N],zz[M],z[M],yy[M],y[M],pre[2405];
void build(int k,int l,int r)
{
  a[k].l=l;a[k].r=r;a[k].sum=0;a[k].cover=0;
  if (l+1==r||l==r) return;int mid=(l+r)>>1;
  build(k<<1,l,mid);
  build(k<<1|1,mid,r);
}
void Cover_Add(int k)
{
  if (L<=a[k].l&&a[k].r<=R)
  {
    if (!opt) a[k].cover++,a[k].sum=y[a[k].r]-y[a[k].l];
    else if (!(--a[k].cover)) a[k].sum=(a[k].l+1>=a[k].r)?
0:a[k<<1].sum+a[(k<<1)+1].sum;
    return;
  }
  int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
  if (L<mid) Cover_Add(k<<1);
  if (R>mid) Cover_Add(k<<1|1);
  if (!a[k].cover) a[k].sum=a[k<<1].sum+a[k<<1|1].sum;
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%d%d%d%d",&X,&Y,&Z,&r);
    x1[i]=X-r;x2[i]=X+r;
    y1[i]=Y-r;y2[i]=Y+r;
    z1[i]=Z-r;z2[i]=Z+r;
  }
  for (i=1;i<=n;i++)
    zz[++hz]=z1[i],zz[++hz]=z2[i];
  sort(zz+1,zz+hz+1);zz[0]=zz[1]-1;
  for (i=1;i<=hz;i++) if (zz[i]!=zz[i-1]) z[++tz]=zz[i];
  for (k=1;k<tz;k++)
  {
    H=z[k+1]-z[k];h=hy=ty=0;temp=tot=0;
    for (i=1;i<=n;i++) 
      if (z1[i]<=z[k]&&z[k+1]<=z2[i])
      {
        E[++h]=(arr){x1[i],y1[i],y2[i],0};
        E[++h]=(arr){x2[i],y1[i],y2[i],1};
        yy[++hy]=y1[i];yy[++hy]=y2[i];
      }
    sort(yy+1,yy+hy+1);yy[0]=yy[1]-1;
    for (i=1;i<=hy;i++) if (yy[i]!=yy[i-1]) y[++ty]=yy[i],pre[yy[i]+A]=++tot;
    if (!ty) continue;
    sort(E+1,E+h+1);build(1,1,ty);
    for (i=1;i<h;i++) 
    {
      W=E[i+1].x-E[i].x;
      L=pre[E[i].l+A];R=pre[E[i].r+A];opt=E[i].p;
      Cover_Add(1);
      if (E[i].x!=E[i+1].x||i+1==h) temp+=a[1].sum*W;
    }
    ans+=temp*H;
  }
  printf("%d",ans);
  return 0;
}