[算法系列之二十八]并查集(不相交集合)
一 概述
并查集(Disjoint set或者Union-find set)是一种树型的数据结构,经常使用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。
有一个联合-查找算法(union-find algorithm)定义了两个操作用于此数据结构:
Find:确定元素属于哪一个子集。它能够被用来确定两个元素是否属于同一子集。 Union:将两个子集合并成同一个集合。
由于它支持这两种操作,一个不相交集也常被称为联合-查找数据结构(union-find data structure)或合并-查找集合(merge-find set)。
其他的重要方法。MakeSet。用于建立单元素集合。
有了这些方法,很多经典的划分问题能够被解决。
为了更加精确的定义这些方法,须要定义怎样表示集合。
一种经常使用的策略是为每一个集合选定一个固定的元素,称为代表。以表示整个集合。
接着。Find(x)返回x所属集合的代表,而Union(x,y)使用两个集合的代表x,y作为參数。
二 主要操作
1.MakeSet(x)
2.Find(x)
3.Union(x,y)
2.1 MakeSet(x) 建立一个新的集合
建立一个新的集合,其唯一成员(由于是其代表)就是x。
由于集合是不相交的。故要求x没有在其他集合中出现过。
2.2 Find(x) 包括x集合的代表
返回一个指针,指向包括x的(唯一)集合的代表。
2.3 Union(x,y) 合并两个不相交集合
将包括x和y的动态集合合并成为一个新的集合。所得集合的代表能够是两个集合的不论什么成员。但在非常多情况下,我们一般选择两个集合之前代表中的一个作为新的代表。
三 不相交集合森林(有根树表示集合)
不相交集合能够用链表实现。可是还有一种更快的方法—–有根树表示集合。树中的每一个节点都包括集合的一个成员,每棵树都表示一个集合。
例如以下图:
左边的树表示集合{b,c,e,h}其c是代表。右边的树表示集合{d,f,g}其f是代表。
3.1 MakeSet(x)
MakeSet创建一棵仅包括一个节点的树。初始时父节点为自己。
#define N 100
//申请内存的大小
int parent[N];
// parent[x]表示x的父节点
void MakeSet(int x){
parent[x] = x;
}
3.2 Find(x)
Find(x)指向包括x的(唯一)集合的代表。沿着父节点指针一直找下去,直到找到树根为止。
int Find(int x){
// 根节点即集合代表
if(x == parent[x]){
return x;
}//if
// 沿着父节点指针寻找
Find(parent[x]);
}
3.3 Union(x,y)
Union操作使的一棵树的根指向还有一棵树的根。例如以下图:
// 合并
void Union(int x,int y){
x = Find(x);
y = Find(y);
parent[y] = x;
}
四 优化
4.1 按秩合并
其思想是使包括较少结点的树指向包括较多结点的树的根。
我们并不显示的记录以每一个结点为根的子树的大小,而是採用一种能够简化分析的方法。对每一个结点,我们用秩表示结点高度(从该结点到某一后代叶节点的最长路径上边的数目)的一个上界。在按秩合并中,具有较小秩的根在Union操作中指向较大秩的根。
rank[x]表示x节点的秩。当由MakeSet创建了一个集合时,相应的树中唯一节点的初始秩为0,每一个Find操作都不改变不论什么秩。
// parent[x]表示x的父节点 rank[x] 表示x的秩
void MakeSet(int x){
parent[x] = x;
rank[x] = 0;
}
当对两棵树应用Union时,有两种情况:
(1) 当两个秩不相等时。我们使具有较高秩的根称为具有较小秩的根的父节点。但秩本身保持不变。
(2)当两个秩相等时。任选一个根作为父节点,并添加其秩的值。
void Union(int x, int y){
x = Find(x);
y = Find(y);
if(x == y) {
return;
}//if
if(rank[x] > rank[y]){
parent[y] = x;
}//if
else if(rank[x] < rank[y]){
parent[x] = y;
}//else
else{
rank[x]++;
}//else
}
4.2 路径压缩
寻找祖先时,我们一般採用递归查找,可是当元素非常多亦或是整棵树变为一条链时。每次Find(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这样的情况,我们需对路径进行压缩。即当我们经过”递推”找到祖先节点后,”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find(x)时复杂度就变成O(1)了。例如以下图所看到的。可见,路径压缩方便了以后的查找。
当中三角表示子树。其根为所看到的节点。
// 带路径压缩的Find
int Find(int x){
// 根节点即集合代表
if(x != parent[x]){
// 更新节点x使之指向根
parent[x] = Find(parent[x]);
}//if
return parent[x];
}
Find是一种两趟方法:一趟是沿查找路径上升,直到找到根;还有一趟是沿查找路径下降。一便更新每一个节点。使之指向根节点。
五 复杂度分析
空间复杂度为O(N)。建立一个集合的时间复杂度为O(1)。N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N)),这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数,在非常大的范围内(人类眼下观測到的宇宙范围估算有10的80次方个原子,这小于前面所说的范围)这个函数的值能够看成是不大于4的,所以并查集的操作能够看作是与m成线性关系。
六 应用
并查集常作为还有一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有:求无向图的连通分量个数,近期公共祖先(LCA),带限制的作业排序,实现Kruskar算法求最小生成树等。
七 引用