85. 最大矩形（Maximal Rectangle）

题目描述：

给定一个仅包含 0 和 1 的二维二进制矩阵，找出只包含 1 的最大矩形，并返回其面积。

示例:

输入:
[
["1","0","1","0","0"],
["1","0","1","1","1"],
["1","1","1","1","1"],
["1","0","0","1","0"]
]
输出: 6

解题思路：

　　这道题如果用暴力解法枚举所有矩形，时间复杂会非常高，达到O(n3m3），枚举两个对角需要n2*m2，遍历对角构成的矩形又需要n*m，所以总共n3*m3。

　　正确的思路是往dp和第84题柱状图中最大矩形上思考。我们依次枚举每一行，把每一列‘1’的高度当成柱子的高度，就把这道题转换成了84题。并且根据上一行的高度，可以求出这一行的高度，即遍历这一行的每一列时，如果字符是‘1’，那么高度就为上一行的高度加1，否则高度就变成0。接着，左边界也可以通过上一行对于元素的左边界得出。可以想到，例如枚举这一行的第i个元素，如果i之前有元素j为‘0’，那么要么j是左边界，要么保持上一行的i位置对应的左边界，取决于哪一个离i更近。如果理解84题的解法，那么这个也不难理解。求右边界也是同样的思路，从右往左遍历。

　　需要注意的点是，如果当前元素为‘0’，那么它的左边界和右边界应该是最大值，也就是-1和每一行的宽度，因为元素为‘0’的时候高度已经为0了，不会再有比它更低的高度了。每遍历一层，就求出该层的最大面积，遍历完所有层数以后，总的最大面积也就求出来了。

　　代码如下：

class Solution {
public:
    int maximalRectangle(vector<vector<char>>& matrix) {
        if (matrix.empty())
            return 0;
        int width = matrix[0].size();
        vector<int> height(width);
        vector<int> left_bound(width, -1);
        vector<int> right_bound(width, width);

        int max_area = 0;

        for (int i = 0; i < matrix.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < width; ++j) {
                if (matrix[i][j] == '1')
                    height[j]++;
                else
                    height[j] = 0;
            }
            int left_min = -1;
            for (int j = 0; j < width; ++j) {
                left_bound[j] = max(left_bound[j], left_min);
                if (matrix[i][j] == '0') {
                    left_bound[j] = -1;
                    left_min = j;
                }
            }

            int right_min = width;
            for (int j = width - 1; j >= 0; --j) {
                right_bound[j] = min(right_bound[j], right_min);
                if (matrix[i][j] == '0') {
                    right_bound[j] = width;
                    right_min = j;
                }
            }

            for (int j = 0; j < width; ++j) {
                int cur_area = (right_bound[j] - left_bound[j] - 1) * height[j];
                max_area = max(cur_area, max_area);
            }
        }
        return max_area;
    }
};