$color$有色图

　　不想看题解的请速撤离

 

 

　　这里没字

 

 

　　按照题面意思来看，好像是点的交换，但是不是。。本题中的置换其实是边与边的置换

　　因为显然颜色是涂在边上的，至于点的交换可以看成接向两个点的边集的交换

　　但是从边根本无法入手，所以我们仍然考虑将通过点的置换来求出边的等价置换。

　　

　　发现没有关于颜色使用的限制，所以可以使用$Polya$定理，那么只需要找循环节数量就行了

　　 考虑一条边在什么时候会循环到自己原来的位置，从换点的角度。

　　 直观地感到跟点循环的大小有关，比如有一个长度为$L$的点循环，有个边连接其中的两个点

　　可以想（猜）到这个点循环里，所有边都是等效的，也就是都在同一次数后循环回来（比如$L$）

　　那么一共有$C_L^2$个点对（边），每个边的循环节长度都是$L$

　　循环接数量就是$cnt(L)=\frac{C_L^2}{L}=\frac{L*(L-1)}{2*L}=\frac{L-1}{2}$

 

　　然而仔细思考就会发现我上一句话伪了

　　因为$L$为偶数时，正对着的边每过$\frac{L}{2}$就回到原来位置了

　　故

　　当$cnt(L)=\frac{\frac{L*(L-2)}{2}}{L}+\frac{L/2}{L/2}=\frac{L-2}{2}+1=\frac{L}{2}  (L$%$2==0)$

　　合起来成了$cnt(L)=\lfloor \frac{L}{2} \rfloor$

 

　　这是一个点循环内部的，还有两个循环之间的呢

　　考虑一个循环长度为$L1$的点循环和另一个循环长度为$L2$的点循环

　　 显然当转过$lcm(L1,L2)$次后，原来的两个点又碰到一起了

　　仔细思考就会发现上一句话无懈可击

　　然后有$L1*L2$个点对，循环节数量$cnt(L1,L2)=gcd(L1,L2)$

 

　　好，现在就是给定一个点的变换的局面，我们知道了这种局面有多少循环节

　　然而需要保证点是有序的，然后局面数量阶乘级别了..

 

　　点无序比较少，试着用无序方案数求出有序情况下的方案数，则要乘上一个系数

　　我们假定图的形状一定，然后我们按照位置固定的顺序把图上点的序号一个个按在序列上

　　显然这样的话，发生任何点的交换都会使序列不同，也就不担心漏掉了

　　目前是$num=n!$,会重，继续考虑

 

　　比如一段长度为$L1$的点循环，在序列上占有一个固定的子序列

　　子序列内部，不管怎么循环左右移动这个点循环还是这个循环..

　　这种同构，每个循环$i$都有$L_i$种，去重，目前$num=\frac{n!}{\prod L_i}$

 

　　然后点循环之间，相同长度的点循环的子序列一交换，又成了新序列，可是局面是一种局面

　　除掉，设长度$j$出现次数为$t_j$,则$num=\frac{n!}{\prod L_i \prod t_j!}$

 

　　好了现在只要找到点无序时有哪些方案就行了

　　这时候$n$很小的特性就有用了，可以爆搜。

　　试着搜一下发现其实合法状态很少，只有3e5左右

　　于是这题没了

　　

　　

　　

　　其实对于我这种大弱鸡来说，这确乎是个神题..

　　虽然颓了题解，可是自己想不到的神仙思路就应该积累不是吗..

　　学到了一种数据范围的方案统计技巧

　　学到了一种等价类计数的思维方式，转化为较简单的置换再求回来

　　学会了如何去重