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color有色图

  不想看题解的请速撤离

 

 

  这里没字

 

 

  按照题面意思来看,好像是点的交换,但是不是。。本题中的置换其实是边与边的置换

  因为显然颜色是涂在边上的,至于点的交换可以看成接向两个点的边集的交换

  但是从边根本无法入手,所以我们仍然考虑将通过点的置换来求出边的等价置换。

  

  发现没有关于颜色使用的限制,所以可以使用Polya定理,那么只需要找循环节数量就行了

   考虑一条边在什么时候会循环到自己原来的位置,从换点的角度。

   直观地感到跟点循环的大小有关,比如有一个长度为L的点循环,有个边连接其中的两个点

  可以想(猜)到这个点循环里,所有边都是等效的,也就是都在同一次数后循环回来(比如L

  那么一共有C_L^2个点对(边),每个边的循环节长度都是L

  循环接数量就是cnt(L)=\frac{C_L^2}{L}=\frac{L*(L-1)}{2*L}=\frac{L-1}{2}

 

  然而仔细思考就会发现我上一句话伪了

  因为L为偶数时,正对着的边每过\frac{L}{2}就回到原来位置了

  故

  当cnt(L)=\frac{\frac{L*(L-2)}{2}}{L}+\frac{L/2}{L/2}=\frac{L-2}{2}+1=\frac{L}{2}  (L%2==0)

  合起来成了cnt(L)=\lfloor \frac{L}{2} \rfloor

 

  这是一个点循环内部的,还有两个循环之间的呢

  考虑一个循环长度为L1的点循环和另一个循环长度为L2的点循环

   显然当转过lcm(L1,L2)次后,原来的两个点又碰到一起了

  仔细思考就会发现上一句话无懈可击

  然后有L1*L2个点对,循环节数量cnt(L1,L2)=gcd(L1,L2)

 

  好,现在就是给定一个点的变换的局面,我们知道了这种局面有多少循环节

  然而需要保证点是有序的,然后局面数量阶乘级别了..

 

  点无序比较少,试着用无序方案数求出有序情况下的方案数,则要乘上一个系数

  我们假定图的形状一定,然后我们按照位置固定的顺序把图上点的序号一个个按在序列上

  显然这样的话,发生任何点的交换都会使序列不同,也就不担心漏掉了

  目前是num=n!,会重,继续考虑

 

  比如一段长度为L1的点循环,在序列上占有一个固定的子序列

  子序列内部,不管怎么循环左右移动这个点循环还是这个循环..

  这种同构,每个循环i都有L_i种,去重,目前num=\frac{n!}{\prod L_i}

 

  然后点循环之间,相同长度的点循环的子序列一交换,又成了新序列,可是局面是一种局面

  除掉,设长度j出现次数为t_j,则num=\frac{n!}{\prod L_i \prod t_j!}

 

  好了现在只要找到点无序时有哪些方案就行了

  这时候n很小的特性就有用了,可以爆搜。

  试着搜一下发现其实合法状态很少,只有3e5左右

  于是这题没了

  

  

  

  其实对于我这种大弱鸡来说,这确乎是个神题..

  虽然颓了题解,可是自己想不到的神仙思路就应该积累不是吗..

  学到了一种数据范围的方案统计技巧

  学到了一种等价类计数的思维方式,转化为较简单的置换再求回来

  学会了如何去重

posted @   Yxsplayxs  阅读(436)  评论(3编辑  收藏  举报
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