2.24 T1 P3515 [POI2011]Lightning Conductor
思路：
首先考虑n^2暴力枚举：ans[i]=max(a[j]+sqrt(|i-j|)-a[i] (1<=j<=n)
把绝对值拆开：
ans[i]=max(a[j]+sqrt(i-j))-a[i] (1<=j<=i)
ans[i]=max(a[j]+sqrt(j-i))-a[i] (i<j<=n)
发现这个式子具有对称性，也就是说对于一个点i，他的最优决策j有可能是在j的左边，也有可能是在j的右边，这是绝对值带来的影响，所以我们从前往后扫一遍，从后往前扫一便，就可以消除abs的影响
对于函数y=sqrt（x），他的增长速度是越来越慢的，我们先考虑从前往后的情况，如果决策点j不变的情况下，i不断增大，那么sqrt（i-j）的增长速度就是不断减小的
我们的dp方程求得是最大值
如果i不断增大，决策点j产生的dp值的增幅不断减小（但是仍在增长），那就有可能存在一个决策点，虽然他之前的贡献比较小，但是增幅大，所以k有可能取代j形成dp[i]的最优解
那么对于每一个决策点j，就可能形成最优解的范围应当是一段区间
这样，我们的一个dp优化思路就是开一个单调队列，保存三元组（p,l,r）,表示决策p的管辖范围是（l,r）内，(所有元素的l ~ r构成1 ~ n)我们枚举到一个i的时候，队头的l++，如果管辖范围为空（i不在head的管辖范围之内），那么就可以删去
此时对于dp[i]而言，队头存储的就是最优决策点
如果此时对于dp[n]而言，决策点p并没有i优，那么我们就是要在队尾加入决策点i
i的管辖范围就是i~n
因为增长速度是存在单调性的，也就是说如果在某一段时间p没有i优，那么p就一直没有i优，所以我们可以二分临界
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define il inline
#define rg register
#define ll long long
#define N 540000
#define inf 2147483647
#define ll_inf 9223372036854775807
using namespace std;
int n,num[N];
double F[N],G[N];
struct T{
int p,l,r;
}Q[N];
il void re(rg int &x);
double sol(rg int i,rg int j){
return (double)num[j]+sqrt((double)(1.0*abs(i-j)));
}
int find(rg int le,rg int ri,rg int p,rg int i){
rg int ans=-1;
while(le<=ri){
rg int mid=((le+ri)>>1);
if(sol(mid,p)>sol(mid,i))le=mid+1;
else ri=mid-1,ans=mid;
}
return ans;
}
int main(){
freopen("s.in","r",stdin);
re(n);
for(rg int i=1;i<=n;++i)
re(num[i]);
//dp[i]=max(num[j]-num[i]+sqrt(abs(i-j)));
//需要求出最优的解
rg int tail=0,head=1;
for(rg int i=1;i<=n;++i){
Q[head].l++;
if(head<=tail&&Q[head].r<Q[head].l)head++;
if(head>tail||sol(n,i)>sol(n,Q[tail].p)){
while(head<=tail&&sol(Q[tail].l,Q[tail].p)<sol(Q[tail].l,i))tail--;
if(head>tail)
Q[++tail].p=i,Q[tail].l=i,Q[tail].r=n;
else{
rg int temp=find(Q[tail].l,Q[tail].r,Q[tail].p,i);
Q[tail].r=temp-1;
Q[++tail].p=i,Q[tail].l=temp,Q[tail].r=n;
}
}
F[i]=sol(i,Q[head].p)-num[i];
}
reverse(num+1,num+n+1);
tail=0,head=1;
for(rg int i=1;i<=n;++i){
Q[head].l++;
if(head<=tail&&Q[head].r<Q[head].l)head++;
if(head>tail||sol(n,i)>sol(n,Q[tail].p)){
while(head<=tail&&sol(Q[tail].l,Q[tail].p)<sol(Q[tail].l,i))tail--;
if(head>tail)
Q[++tail].p=i,Q[tail].l=i,Q[tail].r=n;
else{
rg int temp=find(Q[tail].l,Q[tail].r,Q[tail].p,i);
Q[tail].r=temp-1;
Q[++tail].p=i,Q[tail].l=temp,Q[tail].r=n;
}
}
G[i]=sol(i,Q[head].p)-num[i];
}
reverse(G+1,G+n+1);
for(rg int i=1;i<=n;++i)
printf("%d\n",max(0,(int)ceil(max(F[i],G[i]))));
return 0;
}
il void re(rg int &x){
rg int res=0;rg int w=1;char c=getchar();
while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();
if(c=='-')w=-1,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0',c=getchar();
x=w*res;
}
这里还有另一个思路，不过设置的是四元组
还是正着扫一遍，倒着扫一遍，但是我们在for循环时候的变量名变了： L,R,l,r表示f[L] ~ f[R]区间中所有点的最优策略在l~r这个区间内，我们二分查找，每次查找L,R的中点mid，对于mid来说，mid的最优解也一定在l ~ r范围之内，所以我们直接在l ~ min(mid,r)的范围内暴力枚举答案即可，为什么边界是min(mid,r)呢？因为我们正序枚举的时候是强制规定f[i]的最优解一定在f[i]的左边，如果最优解在f[i]的右边，那么我们直接在倒序枚举的时候处理就可以，故只枚举min(l,r)即可。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 500000+7
using namespace std;
inline ll read()//快读
{
char c=getchar();
ll x=0,f=1;
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}//不需要判负删掉来简化
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return x*f;
}
ll n;
ll a[maxn];
long double zheng_f[maxn],dao_f[maxn];
/*
void solve1(int L,int R,int l,int r)
{
if (L>R) return;
int mid=(L+R)>>1,g(0);
long double tmp(0);
zheng_f[mid]=a[mid];
for (int i=l;i<=min(r,mid);i++)
{
tmp=a[i]+sqrt(double(mid-i));
if (tmp>zheng_f[mid]) zheng_f[mid]=tmp,g=i;
}
if (g==0) g=mid; zheng_f[mid]-=a[mid];
solve1(L,mid-1,l,g);
solve1(mid+1,R,g,r);
}*/
void work_zheng(ll L,ll R,ll l,ll r)
{
if(L>R) return ;
ll mid=(L+R)>>1,k=0;
zheng_f[mid]=a[mid];
ll q=min(mid,r);
for(int i=l;i<=q;i++)
{
long double tmp=a[i]+sqrt(double(abs(mid-i)));
if(tmp>zheng_f[mid]) zheng_f[mid]=tmp,k=i;
}
if(k==0) k=mid;zheng_f[mid]-=a[mid];
work_zheng(L,mid-1,l,k);
work_zheng(mid+1,R,k,r);
}
void work_dao(ll L,ll R,ll l,ll r)
{
if(L>R) return;
ll mid=(L+R)>>1,k=0;
dao_f[mid]=a[mid];
ll q=max(mid,l);
for(int i=r;i>=q;i--)
{
long double tmp=a[i]+sqrt(double(abs(mid-i)));
if(tmp>dao_f[mid]) dao_f[mid]=tmp,k=i;
}
if(k==0) k=mid;dao_f[mid]-=a[mid];
work_dao(L,mid-1,l,k);
work_dao(mid+1,R,k,r);
}
/*
void solve2(int L,int R,int l,int r)
{
if (L>R) return ;
int mid=(L+R)>>1,g(0);
long double tmp(0);
dao_f[mid]=a[mid];
for (int i=r;i>=max(mid,l);i--)
{
tmp=a[i]+sqrt(double(i-mid));
if (tmp>dao_f[mid]) dao_f[mid]=tmp,g=i;
}
if (g==0) g=mid; dao_f[mid]-=a[mid];
solve2(L,mid-1,l,g);
solve2(mid+1,R,g,r);
}
*/
int main()
{
freopen("thunder.in","r",stdin);
freopen("thunder.out","w",stdout);
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
/*//预处理出正序循环时第一个数的p
ll zheng_p=0;
double tmp=0;
ll jj=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
tmp=sqrt(abs(1-j));
if((int)tmp!=tmp)//如果不是整数
tmp=(int)tmp+1;
if(zheng_p<a[j]-a[1]+tmp)
{
zheng_p=max(zheng_p,a[j]-a[1]+(int)tmp);
jj=j;
}
}
zheng_f[1]=zheng_p;
//正序处理
tmp=0;
double tmp2=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
tmp=sqrt(abs(jj-(i-1)));
tmp2=sqrt(abs(jj-i));
if((int)tmp!=tmp) tmp=(int)tmp+1;
if((int)tmp2!=tmp2) tmp2=(int)tmp2+1;
zheng_f[i]=max(zheng_f[i],zheng_f[i-1]-(int)tmp+a[i-1]-a[i]+(int)tmp2);
}
//预处理出倒序循环时第一个数的p
ll dao_p=0;
tmp=0;
jj=0;
for(int j=n;j>=1;j--)
{
tmp=sqrt(abs(n-j));
if((int)tmp!=tmp)//如果不是整数
tmp=(int)tmp+1;
if(dao_p<a[j]-a[n]+tmp)
{
dao_p=max(dao_p,a[j]-a[n]+(int)tmp);
jj=j;
}
}
dao_f[n]=dao_p;
//倒序处理
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
tmp=sqrt(abs(jj-(i+1)));
tmp2=sqrt(abs(jj-i));
if((int)tmp!=tmp) tmp=(int)tmp+1;
if((int)tmp2!=tmp2) tmp2=(int)tmp2+1;
dao_f[i]=max(dao_f[i],a[jj]-a[i]+(int)tmp2);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cout<<max(zheng_f[i],dao_f[i])<<"\n";
}
/*cout<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<zheng_f[i]<<" ";
cout<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dao_f[i]<<" ";
*/
work_zheng(1,n,1,n);
work_dao(1,n,1,n);
//solve1(1,n,1,n);
//solve2(1,n,1,n);
//cout<<zheng_f[1]<<" "<<dao_f[1]<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<(ll)ceil(max(zheng_f[i],dao_f[i]))<<'\n';
return 0;
}
