BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设 斜率优化dp

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题意：

有个斜坡，有n个仓库，每个仓库里面都有一些物品，物品数目为p，仓库位置为x，修缮仓库需要的费用为c，现在下雨了，之后修缮的仓库才能放东西，别的地方的仓库要运东西过来，但是只能往比它地势低的运，问所有物品得到保障的最小代价。

思路一： 参考：http://www.cnblogs.com/lidaxin/p/5118045.html

斜率优化+DP。
转移方程式：

f[i]=min{ f[j]+p[j+1](x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2]+…p[i](x[i]-x[i]))+C[i] }
    =min{ f[j]-(sumpx[i]-sumpx[j])+(sump[i]-sump[j])*x[i] +C[i]}
    =min{ (f[j]+sumpx[j])-(X[i]*p[j]) }+C[i]-sumpx[i]+X[i]*sump[i]

 

 

其中定义sumpx[]表示p*X的前缀和，sump表示p的前缀和。
设y(j)=f[j]+sumpx[j]，a(i)=X[i]，x(j)=sump[j]，则有
f[i]=(min p = y(j)-a(i)*x(j)) +C[i]-sumpx[i]+X[i]*sump[i]
括号中的式子可以看作一条直线，其中a(i)为i下的常数，x(j)与y(j)都可以在常数时间下确定，而且x与直线斜率（a[i]）都是单调递增的，如果以x y建立坐标轴的话，则问题变成已知一条直线的斜率和一堆点，求y轴上的最小截距。
可以通过维护一个下凸包完成，构造一个单调队列，对应该斜率下的直线，从队首维护最优性(p的大小)，从队尾维护凸包。

while(L<R && q[L].y-q[L].x*X[i] >= q[L+1].y-q[L+1].x*X[i]) L++;  根据当前直线计算p 维护队首的最优性
while(L<R && cross(q[R-1],q[R],now)<=0) R--;                 //维护与插入当前点, 将不在凸包上的点删去，保证最优
q[++R]=now;

now.x=sump[i];                                                 //计算当前点 
now.y=q[L].y-q[L].x*X[i]+C[i]+X[i]*sump[i];   

 

也就是	y[i] = f[i]+sumpx[i]
			 = {min{(f[j]+sumpx[j])-sump[j]*X[i])}+X[i]*sump[i]+C[i]-sumpx[i]} + sumpx[i] 
			 = y[j]-sump[j]*X[i] + C[i] + X[i]*sump[i]

答案就是 q[R]-sumpx[i]; 因为f[i]=now.y-sumpx[i];

 

代码一：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
const int maxn = 1e6+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

ll n,x[maxn],p[maxn],C[maxn],sump[maxn],sumpx[maxn];
struct node{
    ll x,y;
}now,q[maxn];

ll cross(node A,node B,node C){
    return (B.x-A.x)*(C.y-A.y) - (C.x-A.x)*(B.y-A.y);
}

int main(){
    n = read();
    for(int i=1; i<=n; i++){
        x[i]=read(),p[i]=read(),C[i]=read();
        sump[i] = sump[i-1]+p[i];
        sumpx[i] = sumpx[i-1]+p[i]*x[i];
    }

    ll L=0,R=0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        while(L<R && q[L].y-x[i]*q[L].x > q[L+1].y-x[i]*q[L+1].x) L++;
        now.x = sump[i];
        now.y = q[L].y - x[i]*q[L].x + x[i]*sump[i] + C[i];
        while(L<R && cross(q[R-1],q[R],now)<0) R--;
        q[++R] = now;
    }

    cout << q[R].y-sumpx[n] << endl; //f[i]=now.y-sumpx[i];

    return 0;
}

 

思路二：

f[i]=min{ (f[j]+sumpx[j])-(X[i]*p[j]) }+C[i]-sumpx[i]+X[i]*sump[i]
若有两个决策j和k且j>k，若决策j优于决策k，则有
　　　　f[j]-f[k]+sumpx[j]-sumpx[k]<(sump[j]-sump[k])*X[i]
根据斜率判断决策哪个更优。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
const int maxn = 1e6+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

ll n,x[maxn],p[maxn],c[maxn],sump[maxn],sumpx[maxn],q[maxn],f[maxn];

double slope(int j, int k){
    return (f[j]-f[k]+sumpx[j]-sumpx[k]) / (1.0*(sump[j]-sump[k]));
}

int main(){
    n = read();
    for(int i=1; i<=n; i++){
        x[i] = read(), p[i] = read(), c[i] = read();
        sump[i] = sump[i-1]+p[i];
        sumpx[i] = sumpx[i-1]+p[i]*x[i];
    }

    int L=0,R=0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        while(L<R && slope(q[L+1],q[L]) <= x[i]) L++;
        int j = q[L];
        f[i] = f[j] + (sump[i]-sump[j])*x[i] - (sumpx[i]-sumpx[j]) + c[i];
        while(L<R && slope(i,q[R])<=slope(q[R],q[R-1])) R--;
        q[++R] = i;
    }

    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}