进制
十六进制的转换
进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制---X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一
数制的概念(number systems)
数制是人们利用符号进行计数的科学方法。数制有很多种，在计算机中常用的数制有：十进制，二进制和十六进制。
数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。计算机是信息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理,存储和传输。
十进制数（Decimal）
人们通常使用的是十进制。它的特点有两个：有0，1，2….9十个基本数字组成,十进制数运算是按“逢十进一”的规则进行的.
在计算机中,除了十进制数外,经常使用的数制还有二进制数和十六进制数.在运算中它们分别遵循的是逢二进一和逢十六进一的法则.
二进制数（Binary）
二进制数有两个特点：它由两个基本数字0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。
为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或加后面加B表示。
例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2,或写成10110011B,对于十进制数可以不加注.计算机中的数据均采用二进制数表示,这是因为二进制数具有以下特点：
1） 二进制数中只有两个字符0和1，表示具有两个不同稳定状态的元器件。例如，电路中有，无电流，有电流用1表示，无电流用0表示。类似的还比如电路中电压的高，低，晶体管的导通和截止等。
2） 二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。
二进制数的加法和乘法运算如下：
0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10
0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1
七进制数（septenary）
七进制是以7为底数的记数系统。使用数字0-6。
七进制小数通常都是循环小数，除非分母是七的倍数。有些小数可以用有限个数字来表示，如：
十进制 七进制 （循环部分）
1/2 1/2 = 0.3...
1/3 1/3 = 0.2...
1/4 1/4 = 0.15...
1/5 1/5 = 0.1254...
1/6 1/6 = 0.1...
1/7 1/10 = 0.1
1/8 1/11 = 0.06...
1/9 1/12 = 0.053...
1/10 1/13 = 0.0462...
1/12 1/15 = 0.04...
1/14 1/20 = 0.03...
1/15 1/21 = 0.0316...
1/16 1/22 = 0.03...
1/18 1/24 = 0.025...
1/19 1/25 = 0.024...
1/20 1/26 = 0.0231...
1/21 1/30 = 0.02...
1/24 1/33 = 0.02...
... ...
1/49 1/100 = 0.01
七进制的乘法表：
- 1 2 3 4 5 6 10
1 1 2 3 4 5 6 10
2 2 4 6 11 13 15 20
3 3 6 12 15 21 24 30
4 4 11 15 22 26 33 40
5 5 13 21 26 34 42 50
6 6 15 24 33 42 51 60
10 10 20 30 40 50 60 100
在七进制中： π = 3.0663651432... e = 2.5012410654...
加法运算举例：1、131+245=4062、406+666=14053、1405+3456=4534数制转换举例：1、十进制的131转化成七进制数131(十)=18*7+5=（2*7+4）*7+5=2*7^2+4*7^1+5=245（七）2、七进制数245转化成十进制数245（七）=2*7^2+4*7^1+5=2*49+4*7+5=98+28+5=131（十）
七进制的一个好处是，3.1 (22/7)是圆周率的一个很好的近似值。
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Function Cvn10to7(num As Long) As LongDim rst As VariantDo While Int(num / 7) <> 0 rst = (num Mod 7) & rst num = (num - (num Mod 7)) / 7LoopCvn10to7 = num & rstEnd Function
八进制数（Octal）
由于二进制数据的基R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加O表示 例如：二进制数据 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应 八进制数据 ( 3 5 2 . 2 6 4 )8或352.264O.
duodecimal 十二进制
十二进制 长度单位一英尺等于12英寸，一先令等于12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也是12码。
十二进制来源:传说是十个手指头加两只脚。这是过去规定的，现在规定一打dozen为10个。
规定一打12个是一种12进制。
瑞典历史上有一位有远见的国王就说过,从日常应用的角度看,十二进制比十进制更方便。他生前曾设想过,在他管辖的范围内取消十进制,而代之以十二进制。
现在还能见到十二进制，比如钟表转一圈12小时等等。
十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
十二进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M N
有时十进制中的10/11在十二进制中也用A/B表示。
十六进制数（Hex）
由于二进制数在使用中位数太长,不容易记忆,所以又提出了十六进制数
十六进制数有两个基本特点:它由十六个字符0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十进制数10～15），十六进制数运算规律是逢十六进一，即基R=16=2^4，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别。
例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或写成4AC8H。
六十进位制数 sexagesimal
古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。因为历法需要的精确度较高，时间的单位小时，角度的单位度都嫌太大。必须进一步研究他们的小数。它们的小数都具有这样的性质︰使1/2,1/3,1/4,1/5,1/6等都能成为他的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如︰1/2等于30个1/60,1/3等于20个1/60,1/4等于15个1/60…这种小数的进位制在表示有些数时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制中要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
数的位权概念
对于形式化的进制表示，我们可以从0开始，对数字的各个数位进行编号，即个位起往左依次为编号0，1，2，……；对称的，从小数点后的数位则是-1，-2，……
进行进制转换时，我们不妨设源进制（转换前所用进制）的基为R1，目标进制（转换后所用进制）的基为R2，原数值的表示按数位为AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示为R，则有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2
（由于此处不可选择字体，说明如下：An，A2，A-1等符号中，n，2，-1等均应改为下标，而上标的幂次均用^作为前缀）
举例：
一个十进制数110，其中百位上的1表示1个10^2，既100，十位的1表示1个10^1，即10，个位的0表示0个100，即0。
一个二进制数110，其中高位的1表示1个2^2，即4，低位的1表示1个2^1，即2，最低位的0表示0个2^0，即0。
一个十六进制数110，其中高位的1表示1个16^2，即256，低位的1表示1个16^1，即16，最低位的0表示0个16^0，即0。
可见，在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们称这关系为数的位权。
十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。
进数制之间的转换
1.二进制数、十六进制数转换为十进制数（按权求和）
二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把二进制数（或十六进制数）按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”.
例如:把(1001.01)2 二进制计算。
解：（1001.01）2
=8*1+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4)
=8+0+0+1+0+0.25
=9.25
把(38A.11)16转换为十进制数
解:(38A.11)16
=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方
=768+128+10+0.0625+0.0039
=906.0664
2.十进制数转换为二进制数,十六进制数(除2/16取余法)
整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法．
例：将25转换为二进制数
解:25÷2=12 余数1
12÷2=6 余数0
6÷2=3 余数0
3÷2=1 余数1
1÷2=0 余数1
所以25=(11001)2
同理,把十进制数转换为十六进制数时,将基数2转换成16就可以了.
例:将25转换为十六进制数
解:25÷16=1 余数9
1÷16=0 余数1
所以25=(19)16
3.二进制数与十六进制数之间的转换
由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以,十六进制数与二进制数的转换是十分简单的.
(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称位分四位.
例:将(4AF8B)16转换为二进制数.
解: 4 A F 8 B
0100 1010 1111 1000 1011
所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2
(2)二进制数转换为十六进制数,分别向左,向右每四位一组,依次写出每组4位二进制数所对应的十六进制数――简称四位合一位.
例:将二进制数(000111010110)2转换为十六进制数.
解: 0001 1101 0110
1 D 6
所以(111010110)2=（1D6）16
转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4位
数制转换的一般化
1）R进制转换成十进制
任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数据。 例如：N = 1101.0101B = 1*2^3+1*2^2+0*21+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125
N = 5A.8H = 5*16^1+A*16^0+8*16^-1 = 80+10+0.5 = 90.5
2）十进制转换R 进制
十进制数转换成R 进制数,须将整数部分和小数部分分别转换.
1.整数转换----除R 取余法 规则：（1）用R 去除给出的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R 进制数据的整数部分最低位数字； （2）再用R去除所得的商，取其余数作为转换后的R 进制数据的高一位数字； （3）重复执行（2）操作，一直到商为0结束。 例如： 115 转换成 Binary数据和Hexadecimal数据 （图2-4） 所以 115 = 1110011 B = 73 H
2．小数转换-----乘R 取整法 规则：（1）用R 去乘给出的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R 进制小数点后第一位数字； （2）再用R 去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R 进制小数的低一位数字； （3）重复（2）操作，一直到乘积为0，或已得到要求精度数位为止。
编辑本段
进制的and、or、xor运算
所有进制的and（和）、or（或）、xor（异或）运算都要转化为二进制进行运算，然后对齐位数，进行运算，具体的运算方法和普通的and、or、xor相同，如：1and1=1，1and0=0，0and0=0，1or1=1，1or0=1，0or0=0，1xor1=1，1xor0=0，0xor0=1。就是一般的二进制运算。
如：35（H）and5（O）=110101（B）and101（B）=101（B）=5（O）
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比如我们最常用的10进制，其实起源于人有10个指头。如果我们的祖先始终没有摆脱手脚不分的境况，我想我们现在一定是在使用20进制。
至于二进制……没有袜子称为0只袜子，有一只袜子称为1只袜子，但若有两袜子，则我们常说的是：1双袜子。
生活中还有：七进制，比如星期。十六进制，比如小时或“一打”，六十进制，比如分钟或角度……
了解一些进制知识!
一)、数制
计算机中采用的是二进制，因为二进制具有运算简单，易实现且可靠，为逻辑设计提供了有利的途径、节省设备等优点，为了便于描述，又常用八、十六进制作为二进制的缩写。
一般计数都采用进位计数，其特点是：
(1)逢N进一，N是每种进位计数制表示一位数所需要的符号数目为基数。
(2)采用位置表示法，处在不同位置的数字所代表的值不同，而在固定位置上单位数字表示的值是确定的，这个固定位上的值称为权。
在计算机中：D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 只有两种0和1
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二)、数制转换
不同进位计数制之间的转换原则：不同进位计数制之间的转换是根据两个有理数如相等，则两数的整数和分数部分一定分别相等的原则进行的。也就是说，若转换前两数相等，转换后仍必须相等。
有四进制
十进制：有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一
二进制：有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一
八进制：有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一
十六进制：有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一
1、数的进位记数法
N=a n-1*p n-1+a n-2*p n-2+…+a2*p2+a1*p1+a0*p0
2、十进制数与P进制数之间的转换
①十进制转换成二进制：十进制整数转换成二进制整数通常采用除2取余法，小数部分乘2取整法。例如，将(30)10转换成二进制数。
将(30)10转换成二进制数
2| 30 ….0 ----最右位
2 15 ….1
2 7 ….1
2 3 ….1
1 ….1 ----最左位
∴ (30)10=（11110)2
将(30)10转换成八、十六进制数
8| 30 ……6 ------最右位
3 ------最左位
∴ (30)10 =(36)8
16| 30 …14(E)----最右位
1 ----最左位
∴ （30)10 =（1E)16
3、将P进制数转换为十进制数
把一个二进制转换成十进制采用方法：把这个二进制的最后一位乘上20，倒数第二位乘上21，……,一直到最高位乘上2n,然后将各项乘积相加的结果就它的十进制表达式。
把二进制11110转换为十进制
（11110）2=1*24+1*23+1*22+1*21+0*20=
=16+8+4+2+0
=（30）10
把一个八进制转换成十进制采用方法：把这个八进制的最后一位乘上80，倒数第二位乘上81，……,一直到最高位乘上8n,然后将各项乘积相加的结果就它的十进制表达式。
把八进制36转换为十进制
（36）8=3*81+6*80=24+6=（30）10
把一个十六进制转换成十进制采用方法：把这个十六进制的最后一位乘上160，倒数第二位乘上161，……,一直到最高位乘上16n,然后将各项乘积相加的结果就它的十进制表达式。
把十六制1E转换为十进制
（1E）16=1*161+14*160=16+14=（30）10
3、二进制转换成八进制数
(1)二进制数转换成八进制数：对于整数，从低位到高位将二进制数的每三位分为一组，若不够三位时，在高位左面添0，补足三位，然后将每三位二进制数用一位八进制数替换，小数部分从小数点开始，自左向右每三位一组进行转换即可完成。例如：
将二进制数1101001转换成八进制数，则
(001 101 001)2
| | |
( 1 5 1)8
( 1101001)2=(151)8
(2)八进制数转换成二进制数：只要将每位八进制数用三位二进制数替换，即可完成转换，例如，把八进制数(643.503)8，转换成二进制数，则
(6 4 3 . 5 0 3)8
| | | | | |
(110 100 011 . 101 000 011)2
(643.503)8=(110100011.101000011)2
4、二进制与十六进制之间的转换
(1)二进制数转换成十六进制数：由于2的4次方=16，所以依照二进制与八进制的转换方法，将二进制数的每四位用一个十六进制数码来表示，整数部分以小数点为界点从右往左每四位一组转换，小数部分从小数点开始自左向右每四位一组进行转换。
(2)十六进制转换成二进制数
如将十六进制数转换成二进制数，只要将每一位十六进制数用四位相应的二进制数表示，即可完成转换。
例如：将(163.5B)16转换成二进制数，则
( 1 6 3 . 5 B )16
| | | | |
(0001 0110 0011. 0101 1011 )2
(163.5B)16=(101100011.01011011)2
