导数(1)

导数学习笔记（1）

From bilibili 一数 导数 1~6

求导公式：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

手动求导举例：

对 $f(x)=x^2$求导：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }x+2x\\ & =2x\end{array}$$

在实际做题过程中吗，我们不能对所有函数都手动求导，因此，我们必须掌握常见函数的导数以及导数的运算法则。

常见函数导数：

$$\{\begin{array}{ll}(x^a{)}^{\prime }& =a{x}^{a-1}(a\ne 0)\\ (C{)}^{\prime }& =0\\ (e^x{)}^{\prime }& =e^x\\ (\ln x{)}^{\prime }& =\frac{1}{x}\\ (\sin x{)}^{\prime }& =cosx\\ (\cos x{)}^{\prime }& =-sinx\\ (\tan x{)}^{\prime }& =\frac{1}{co{s}^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =-\frac{1}{si{n}^{2}x}\\ (a^x{)}^{\prime }& =a^{x}lna\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =\frac{1}{x\ln a}\end{array}$$

导数运算法则：

四则运算：

$$\{\begin{array}{ll}[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }& =f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)\\ [f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }& =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\\ [\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }& =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}\end{array}$$

复合函数：

链式法则：

$$\begin{array}{r}(f_n(f_{n-1}(f_{n-2}(f...(f_1(x))))){)}^{\prime }=f_n^{\prime }(f_{n-1}(f_{n-2}(...)))\cdot f_{n-1}^{\prime }(f_{n-2}(...)))\cdot ...\cdot f_1^{\prime }(x)\end{array}$$

导数应用

判断函数单调性

设函数 $f(x)$ ，若存在：

$$\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)& >0(a<x<b)\\ f^{\prime }(x)& <0(c<x<d)\end{array}$$

那么显然，$f(x)$ 在区间 $(a,b)$上单调递增，在区间$(c,d)$上单调递减。

极值与最值

设函数$f(x)$ ，若存在：

$$\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)& >0(a<x<b)\\ f^{\prime }(x)& <0(b<x<c)\end{array}$$

则称 $b$ 为函数$f(x)$的一个极大值点。注意这里的点并非一个二维的点，而是类似于零点一样的，只是一个一维的值。

类似的，若存在：

$$\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)& <0(a<x<b)\\ f^{\prime }(x)& >0(b<x<c)\end{array}$$

则称 $b$ 为函数$f(x)$的一个极小值点。

一个函数的最值只可能在两个位置：（1）极值点（2）端点。