组合

组合

\begin{aligned} \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} \sum_{i = l_{1}}^{r_{1}} (\binom{i + j}{j}) & = \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} \sum_{i = l_{1} + j}^{r_{1} + j} (\binom{i}{j}) \\ = \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} ((\binom{r_{1} + j + 1}{j + 1}) - (\binom{l_{1} + j}{j + 1})) \\ = \sum_{j = 0}^{r_{2}} ((\binom{r_{1} + j + 1}{j + 1}) - (\binom{l_{1} + j}{j + 1})) - \sum_{j = 0}^{l_{2} - 1} ((\binom{r_{1} + j + 1}{j + 1}) - (\binom{l_{1} + j}{j + 1})) \\ = \sum_{j = 0}^{r_{2}} (\binom{r_{1} + j + 1}{j + 1}) - \sum_{j = 0}^{r_{2}} (\binom{l_{1} + j}{j + 1}) - \sum_{j = 0}^{l_{2} - 1} (\binom{r_{1} + j + 1}{j + 1}) + \sum_{j = 0}^{l_{2} - 1} (\binom{l_{1} + j}{j + 1}) \\ = \sum_{j = 1}^{r_{2} + 1} (\binom{r_{1} + j}{j}) - \sum_{j = 1}^{r_{2} + 1} (\binom{l_{1} + j}{j}) - \sum_{j = 1}^{l_{2}} (\binom{r_{1} + j}{j}) + \sum_{j = 1}^{l_{2}} (\binom{l_{1} + j}{j}) \\ = (\binom{r_{1} + r_{2} + 2}{r_{2} + 1}) - (\binom{l_{1} + r_{2} + 2}{r_{2} + 1}) - (\binom{r_{1} + l_{2} + 1}{l_{2}}) + (\binom{l_{1} + l_{2} + 1}{l_{2}}) \end{aligned}

\begin{aligned} \sum_{i = l_{1}}^{r_{1}} \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} (\binom{i + j}{i}) & = \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} \sum_{i = l_{1}}^{r_{1}} (\binom{i + j}{i}) \\ = \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} ((\binom{r_{1} + j + 1}{r_{1}}) - (\binom{l_{1} + j}{l_{1} - 1})) \\ = \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} (\binom{r_{1} + j + 1}{r_{1}}) - \sum_{j = l_{2}}^{r_{2}} (\binom{l_{1} + j}{l_{1} - 1}) \\ = \sum_{i = l_{2} + r_{1} + 1}^{r_{2} + r_{1} + 1} (\binom{i}{r_{1}}) - \sum_{i = l_{2} + l_{1}}^{r_{2} + l_{1}} (\binom{i}{l_{1} - 1}) \\ = (\binom{r_{1} + r_{2} + 2}{r_{1} + 1}) - (\binom{r_{1} + l_{2} + 1}{r_{1} + 1}) + (\binom{l_{1} + l_{2}}{l_{1}}) - (\binom{l_{1} + r_{2} + 1}{l_{1}}) \end{aligned}

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1}) = \sum_{i = m}^{n} (\binom{i}{m}) = \sum_{i = m}^{n} (\binom{i}{m}) + \sum_{i = 0}^{k (k < m)} (\binom{i}{m})

posted @ 2024-08-24 10:19 yxans 阅读(11) 评论(1) 编辑收藏举报

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