【XSY3139】预言家 数位DP NFA
题目描述
有一个定义在 \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) 上的合规表达式,包含三种基本的操作:
结合:\(E_1E_2\)
分配:\((E_1|E_2|\ldots|E_n),n\geq 2\)
重复:\((E_1)* ,n\geq 0\)
给你 \(l,r\),问你有多少个 \([l,r]\) 之间不含前导零的整数能匹配这个合规表达式。
\(1\leq l\leq r\leq {10}^{18}\)
题解
直接建出这个合规表达式对应的 NFA,在上面跑数位 DP 即可。
记录 \(f_{i,0/1,j}\) 表示还需要确定后 \(i\) 位,前面这几位是否比 \(n\) 小,在 NFA 上面可以达到的状态集合是 \(j\) 时的方案数。
时间复杂度:\(O(???)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
char s[100];
int c[100];//另一个括号的位置
int n;
int st[100];
int top;
int b[100][100];//epsilon
int nxt[100];
int move(int x,int v)
{
int res=0;
for(int i=1;i<=n+1;i++)
if(((x>>(i-1))&1)&&s[i]-'0'==v)
res|=nxt[i+1];
return res;
}
void init()
{
memset(c,0,sizeof c);
top=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(s[i]=='(')
st[++top]=i;
else if(s[i]==')')
{
c[i]=st[top];
c[st[top]]=i;
top--;
}
memset(b,0,sizeof b);
for(int i=1;i<=n+1;i++)
b[i][i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(s[i]=='(')
{
if(s[c[i]+1]=='*')
{
b[i][c[i]]=1;
b[i][i+1]=1;
}
else
{
b[i][i+1]=1;
int cnt=0;
for(int j=i;j<=c[i];j++)
{
if(s[j]=='(')
cnt++;
else if(s[j]==')')
cnt--;
if(s[j]=='|'&&cnt==1)
{
b[i][j+1]=1;
b[j][c[i]]=1;
}
}
}
}
else if(s[i]==')')
{
b[i][i+1]=1;
if(s[i+1]=='*')
b[i][c[i]]=1;
}
else if(s[i]=='*')
b[i][i+1]=1;
for(int k=1;k<=n+1;k++)
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=n+1;j++)
b[i][j]|=b[i][k]&&b[k][j];
memset(nxt,0,sizeof nxt);
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=n+1;j++)
if(b[i][j])
nxt[i]|=1<<(j-1);
}
int len;
int a[100];
map<int,ll> f[100][2];
ll calc(ll m)
{
if(!m)
return 0;
len=0;
while(m)
{
a[++len]=m%10;
m/=10;
}
for(int i=0;i<=len;i++)
{
f[i][0].clear();
f[i][1].clear();
}
for(int i=1;i<=a[len];i++)
f[len-1][i==a[len]][move(nxt[1],i)]++;
for(int i=len-1;i>=1;i--)
for(int j=1;j<=9;j++)
f[i-1][0][move(nxt[1],j)]++;
for(int i=len;i>=1;i--)
{
for(auto v:f[i][1])
if(v.first)
{
for(int j=0;j<=a[i];j++)
f[i-1][j==a[i]][move(v.first,j)]+=v.second;
}
for(auto v:f[i][0])
if(v.first)
{
for(int j=0;j<=9;j++)
f[i-1][0][move(v.first,j)]+=v.second;
}
}
ll res=0;
for(int i=0;i<=1;i++)
for(auto v:f[0][i])
if((v.first>>n)&1)
res+=v.second;
return res;
}
void solve()
{
ll l,r;
scanf("%lld%lld",&l,&r);
scanf("%s",s+1);
n=strlen(s+1);
init();
ll ans1=calc(r);
ll ans2=calc(l-1);
ll ans=ans1-ans2;
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
#endif
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
solve();
return 0;
}