【XSY2808】董先生的休闲方案 组合数学

题目描述

　　有\(n\)个方案，编号为\(1\ldots n\)。

　　最开始你不知道每个方案的编号。

　　你要按顺序提出这些方案。

　　每一个时刻你要做以下事情：

　　　如果你阅读过下一个方案，就提出这个方案。

　　　否则随机选一个你还没有阅读过的方案，然后阅读这份方案。如果这份方案是你马上要提出的方案，就提出这份方案，否则把这份方案放回到桌子上。

　　问你期望耗时。对\(p^k\)取模。

　　\(p\leq {10}^5,np^k\leq {10}^{18}\)

题解

　　考虑你要在哪种方案上面浪费一个单位的时间，那就是你选择的方案是你下一个要提出的方案。

　　显然你会在其他方案上面浪费两个单位的时间。

　　设\(f_i\)为还有\(i\)个未阅读的方案，提出所有方案需要的时间。

\[\begin{align} f_n&=f_{n-1}+\frac{1}{n}+2\frac{n-1}{n}\\ f_n&=2n-\sum_{i=1}^n\frac{1}{i} \end{align} \]

　　然后直接套用这题的做法就行了。

　　时间复杂度：\(O(pk\log_p n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int128 lll;
ll p;
ll mul(ll a,ll b,const ll &c)
{
	return (lll)a*b%c;
}
ll fp(ll a,ll b){ll s=1;for(;b;b>>=1,a*=a)if(b&1)s*=a;return s;}
ll fp(ll a,ll b,const ll &c){ll s=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a,c))if(b&1)s=mul(s,a,c);return s;}
int pri[1000010];
int b[1000010];
ll pw[1000010];
int cnt;
ll ss[100][100];
void getstirling(ll k,const ll &md)
{
	ss[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			ss[i][j]=(ss[i-1][j-1]-mul(i-1,ss[i-1][j],md))%md;
}
ll gao(ll n,ll k,const ll &md)
{
	ll s=(n+1)/(k+1);
	ll v=s*(k+1);
	for(ll i=n+1;i>=n-k+1;i--)
		s=mul(s,(i==v?1:i),md);
	return s;
}
void gets(ll *s,ll n,ll k,const ll &md)
{
	s[0]=n;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		s[i]=gao(n,i,md);
		for(int j=0;j<i;j++)
			s[i]=(s[i]-mul(ss[i][j],s[j],md))%md;
	}
	s[0]++;
}
ll s1[100];
ll s2[100];
ll g(ll n,const ll &md,ll k)
{
	ll r=n%p;
	getstirling(k,md);
	gets(s1,n/p-1,k,md);
	gets(s2,n/p,k,md);
	ll res=0,s;
	ll t=fp(p,k)-fp(p,k-1)-1;
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		s=0;
		pw[1]=1;
		cnt=0;
		for(int j=1;j<p;j++)
			b[j]=0;
		for(int j=2;j<p;j++)
		{
			if(!b[j])
			{
				pri[++cnt]=j;
				pw[j]=fp(fp(j,i+1),t,md);
			}
			for(int k=1;k<=cnt&&j*pri[k]<p;k++)
			{
				b[j*pri[k]]=1;
				pw[j*pri[k]]=mul(pw[j],pw[pri[k]],md);
				if(j%pri[k]==0)
					break;
			}
		}
		for(int j=1;j<p;j++)
			if(j<=r)
				s=(s+mul(s2[i],pw[j],md))%md;
			else
				s=(s+mul(s1[i],pw[j],md))%md;
		s=mul(s*(i&1?-1:1),fp(p,i),md);
		res=(res+s)%md;
	}
//	fprintf(stderr,"G(%lld, %lld) = %lld\n",n,md,(res+md)%md);
	return res;
}
ll f(ll n,const ll &md,ll k)
{
	if(!n)
		return 0;
	return (g(n,md,k)+f(n/p,md*p,k+1)/p)%md;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("c.in","r",stdin);
	freopen("c.out","w",stdout);
#endif
	ll n,k;
	scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&n);
	const ll md=fp(p,k);
	ll ans=f(n,md,k);
	ans=(2*n-ans)%md;
	ans=(ans+md)%md;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}