【XSY2771】城市 分治
题目描述
一个平原上有\(n\)个城市，第\(i\)个城市在点\((\cos \frac{2i\pi}{n},\sin \frac{2i\pi}{n})\)上。
每个城市和最近的两个城市有一条直线段的路。
此外，还有\(n-3\)条路，这些路不会和原有的路重合，这些路之间也不会相交。
通过每条道路均要花费\(1\)的时间。
每次给你两个城市，问你从一个城市到另一个城市最快要多久。
\(n\leq 100000\)
题解
先把图画出来，容易发现这是一个平面图，且这个图的对偶图是一棵树，每个点的度数不超过\(3\)。
那么我们可以对这棵树分治（点分治边分治都可以）。
每次选择一条边，对于每个询问，这个询问的最短路径可以经过这条边的两个端点，也可以不经过。
那么可以从这条边的两个端点开始BFS，并更新答案。
对于一个询问，如果这个询问的两个点不在这条边的同一侧，就可以把这个询问扔掉了，否则递归下去处理。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<utility>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pii;void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}int rd(){int s,c;while((c=getchar())<'0'||c>'9');s=c-'0';while((c=getchar())>='0'&&c<='9')s=s*10+c-'0';return s;}
vector<int> g[100010];
int e[100010][3];
int qu[100010][3];
int c[100010];
int ti;
int tot;
int b[100010];
queue<int> q;
int num[100010];
int ans[100010];
int d[100010];
void bfs(int x)
{
d[x]=0;
q.push(x);
ti++;
b[x]=ti;
while(!q.empty())
{
x=q.front();
q.pop();
for(auto v:g[x])
if(c[v]==tot&&b[v]!=ti)
{
d[v]=d[x]+1;
b[v]=ti;
q.push(v);
}
}
}
int cnt;
int dist(int l,int r)
{
if(r<l)
r+=cnt;
return r-l+1;
}
int belong(int l,int r,int x)
{
if(l>r)
r+=cnt;
if(x<l)
x+=cnt;
return x<=r;
}
int belong2(int l,int r,int x)
{
if(l>r)
r+=cnt;
if(x<=l)
x+=cnt;
return x<r;
}
void solve(vector<int> &id,vector<int> &qid)
{
if(!qid.size())
return;
if(id.size()<=1)
return;
tot++;
cnt=0;
for(auto v:id)
{
c[v]=tot;
num[v]=++cnt;
}
int s=0x7fffffff,x1,x2;
for(auto v1:id)
for(auto v2:g[v1])
if(c[v2]==tot)
{
int v=max(dist(num[v1],num[v2]),dist(num[v2],num[v1]));
if(v<s)
{
s=v;
x1=v1;
x2=v2;
}
}
bfs(x1);
for(auto v:qid)
ans[v]=min(ans[v],d[qu[v][1]]+d[qu[v][2]]);
bfs(x2);
for(auto v:qid)
ans[v]=min(ans[v],d[qu[v][1]]+d[qu[v][2]]);
if(id.size()<=3)
return;
vector<int> id1,id2,qid1,qid2;
for(auto v:id)
{
if(belong(num[x1],num[x2],num[v]))
id1.push_back(v);
if(belong(num[x2],num[x1],num[v]))
id2.push_back(v);
}
for(auto v:qid)
{
if(belong2(num[x1],num[x2],num[qu[v][1]])&&belong2(num[x1],num[x2],num[qu[v][2]]))
qid1.push_back(v);
if(belong2(num[x2],num[x1],num[qu[v][1]])&&belong2(num[x2],num[x1],num[qu[v][2]]))
qid2.push_back(v);
}
solve(id1,qid1);
solve(id2,qid2);
}
int n,m;
int main()
{
open("b");
scanf("%d",&n);
int x,y;
for(int i=1;i<=n-3;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
x++;
y++;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
e[i][1]=x;
e[i][2]=y;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
g[i].push_back(i%n+1);
g[i%n+1].push_back(i);
}
vector<int> id,qid;
for(int i=1;i<=n;i++)
id.push_back(i);
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&qu[i][1],&qu[i][2]);
qu[i][1]++;
qu[i][2]++;
qid.push_back(i);
if(qu[i][1]==qu[i][2])
ans[i]=0;
else
ans[i]=0x7fffffff;
}
solve(id,qid);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
