【XSY2779】最小表示串 KMP DP polya定理
题目描述
给你一个字符串\(s\)，问你有多少个串是最小表示串且字典序\(\leq s\)
\(|s|\leq 1000\)
题解
先把\(s\)变成比\(s\)小的最大的最小表示串。方法是从后枚举每一个字符，如果这个字符不是'a'，就把这个字符变成这个字符的前驱，并把后面所有字符字符变成'z'，然后判断是不是最小表示串。
可以用kmp去判断。如果\(\exists i,s_{i+1}>s_{fail_i+1}\)，那么这个串就不是最小表示串。
运用polya定理，把问题转化为求有多少个长度为\(i\)的字符串的最小表示串\(<s\)。最后把答案加上\(1\)。
如果一个字符串的最小表示串字典序比\(s\)小，那么就在这个串左旋到第一次字典序小于\(s\)的时候统计。
有两种情况：
情况1：\(???s_1s_2\ldots s_mr????\)
情况2：\(s_{k+1}\ldots s_mr????s_1s_2\ldots s_k\)
这两种情况都要求\(r<s_{m+1}\)
先看第一种情况。
枚举前面\(?\)的数量和\(m\)，要\(O(n^2)\)的时间。
后面的\(?\)可以任意取，但前面的不行。
考虑暴力枚举所有情况，然后拿\(s\)去和这个串做KMP。
如果前面匹配时有对应位置比\(s_i\)小的情况，那么显然是不合法的。
如果前面的\(?\)匹配完后\(s\)中的匹配长度不为\(0\)，那么\(s_1s_2\ldots s_m\)就不是第一次匹配了。（因为\(s\)是最小表示串，所以它的后缀一定大于整个串。）
设\(f_{i,j}\)为有\(i\)个\(?\)，从\(s_j\)开始匹配，匹配完后匹配长度为\(0\)的方案数。
如果这一位匹配，那么方案数就是\(f_{i-1,j+1}\)
如果不匹配，那么这一位肯定比\(s_j\)大，那就是\(('z'-s_j)f_{i-1,1}\)
这样第一部分就做完了。
接下来看第二种情况。
枚举\(k,m\)，拿\(s\)去和\(s_{k+1}\ldots s_m\)跑KMP。
假设当前匹配长度为\(l\)。
但是这次在匹配完后有两种情况。
如果在\(r\)处匹配上了，方案数就是后面\(?\)部分的方案数。
如果失配了，那么有\(s_{l+1}<r<s_{m+1}\)（如果\(r<s_{l+1}\)，那么左旋\(k-l\)次就比\(s\)小了）。
第二部分也做完了。
做一次的时间复杂度是\(O(n^2)\)
但是要做很多次，时间复杂度还是\(O(n^2)\)的。
还有一点细节。如果\(s="abacab"\)，当要求的字符串的循环节长度为\(2\)的时候，后面有一部分\(s_{3\ldots 4}\)比第一部分\(s_{1\ldots 2}\)大，那么第一部分的所有循环同构串都是合法的。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
char s[1010];
int a[2010];
int n;
ll f[1010][1010];
int fail[2010];
ll pw[1010];
ll g[1010];
int chk(int x)
{
int i;
for(i=x+1;i<=n;i++)
if(a[i]>a[(i-1)%x+1])
return 1;
return 0;
}
ll gao(int x)
{
ll ans=0;
for(int i=0;i<x;i++)
for(int j=1;j<=x-i;j++)
ans=(ans+f[i][1]*(a[j]-1)%p*pw[x-i-j])%p;
for(int i=1;i<x;i++)
{
int k=0;
for(int j=0;j<=x-1-i;j++)
{
for(;k&&a[j+i]!=a[k+1];k=fail[k]);
if(j&&a[j+i]==a[k+1])
k++;
if(a[k+1]<a[j+i+1]-1)
ans=(ans+(a[j+i+1]-a[k+1]-1)*f[x-1-i-j][1])%p;
if(a[k+1]<=a[j+i+1]-1)
ans=(ans+f[x-1-i-j][k+2])%p;
}
}
return ans;
}
int check()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i+n]=a[i];
fail[1]=0;
int j=0;
for(int i=2;i<=2*n;i++)
{
while(j&&a[j+1]!=a[i])
j=fail[j];
if(a[j+1]==a[i])
j++;
fail[i]=j;
}
for(int i=1;i<2*n;i++)
if(a[i+1]<a[fail[i]+1])
return 0;
return 1;
}
void solve()
{
scanf("%s",s+1);
n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=s[i]-'a'+1;
pw[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
pw[i]=pw[i-1]*26%p;
for(int i=n;i>=1;i--)
{
if(i!=n&&a[i]>1)
a[i]--;
if(check())
break;
a[i]=26;
}
memset(f,0,sizeof f);
f[0][1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][1]*(26-a[j])%p;
f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j+1])%p;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
g[i]=gao(i);
if(chk(i))
{
if(i%(i-fail[i])==0)
g[i]+=i-fail[i];
else
g[i]+=i;
}
g[i]%=p;
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+g[gcd(i,n)])%p;
ans=ans*fp(n,p-2)%p;
ans++;
ans=(ans+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("string.in","r",stdin);
freopen("string.out","w",stdout);
#endif
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
solve();
return 0;
}
