【XSY2693】景中人 区间DP

题目描述

　　平面上有\(n\)个点，你要用一些矩形覆盖这些点，要求：

• 每个矩形的下边界为\(y=0\)
• 每个矩形的大小不大于\(s\)

　　问你最少要用几个矩形。

　　\(n\leq 100,1\leq y\leq s\)

题解

　　先把坐标离散化。

　　猜（zheng）一个结论：最优解中任意两个矩形的横坐标只可能是相离或包含，不可能是相交。证明略。

　　考虑区间DP。

　　设\(f_{l,r,h}\)为覆盖横坐标\(l\sim r\)，纵坐标\(>h\)的所有矩形需要的最少次数。

　　枚举\(l,r,h\)，有两种转移：

• 找到一个横坐标\(i\)，使得没有任意一个矩形穿过\(i\)。枚举\(i\)分治即可。
• 放一个横坐标为\(l\sim r\)的矩形，把高度设为上限。

　　对于每一个\(h\)，这一层的转移是\(O(n^3)\)的，到下一层的转移是\(O(n^2\log n)\)的，所以总时间复杂度就是\(O(n^4)\)。

　　用记忆化搜索可以跑得飞快。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
int n,s;
pii a[110];
int f[110][110][110];
int xx[110];
int yy[110];
int m1,m2;
int d[110];
int gao(int x)
{
	return x?s/x:0x3fffffff;
}
int gao(int l,int r,int h)
{
	int &s=f[h][l][r];
	if(~s)
		return s;
	while(l<=r&&d[l]<=h)
		l++;
	while(l<=r&&d[r]<=h)
		r--;
	if(l>r)
		return s=0;
	int i;
	s=0x7fffffff;
	for(i=l;i<r;i++)
		s=min(s,gao(l,i,h)+gao(i+1,r,h));
	int hh=gao(xx[r]-xx[l]);
	if(hh<=yy[h])
		return s;
	int v=upper_bound(yy+1,yy+m2+1,hh)-yy-1;
	s=min(s,gao(l,r,v)+1);
	return s; 
}
void solve()
{
	scanf("%d%d",&n,&s);
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i].first,&a[i].second);
		xx[i]=a[i].first;
		yy[i]=a[i].second;
	}
	sort(xx+1,xx+n+1);
	sort(yy+1,yy+n+1);
	m1=unique(xx+1,xx+n+1)-xx-1;
	m2=unique(yy+1,yy+n+1)-yy-1;
	memset(f,-1,sizeof f);
	for(i=1;i<=m1;i++)
		d[i]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i].first=lower_bound(xx+1,xx+m1+1,a[i].first)-xx;
		a[i].second=lower_bound(yy+1,yy+m2+1,a[i].second)-yy;
		d[a[i].first]=max(d[a[i].first],a[i].second);
	}
	int ans=gao(1,m1,0);
	printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	#endif
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}