【AGC006C】Rabbit Exercise 置换

题目描述

　　有\(n\)只兔子站在数轴上。为了方便，将这些兔子标号为\(1\ldots n\)。第\(i\)只兔子的初始位置为\(a_i\)。

　　现在这些兔子会按照下面的规则做若干套体操。每一套体操由\(m\)次跳跃组成；在第\(j\)次跳跃的时候，第\(c_j(2≤c_j≤n−1)\)只兔子会等概率随机选择第\(c_j−1\)或\(c_j+1\)只兔子中的一只（不妨设选择了第\(x\)只兔子），然后跳当前位置到关于第\(x\)只兔子对称的点。

　　这些兔子会按顺序做\(k\)套相同的体操。现在请你求出，每一只兔子做完\(k\)套体操之后最终位置坐标的期望值。

　　\(n,m\leq 100000,k\leq {10}^{18}\)

题解

　　每次操作\(a_x=\frac{1}{2}(2a_{x-1}-a_x)+\frac{1}{2}(2a_{x+1}-a_x)=a_{x-1}+a_{x+1}-a_x\)

　　可以发现这是一个线性变换，可以直接计算。

　　那么有什么规律吗？

　　假设有三个数\(a_1,a_2,a_3\)，\(c_1=2\)。

　　变换后会得到\(a_1,a_1+a_3-a_2,a_3\)。

　　我们差分一下：

\[\begin{align} a_1,a_2,a_3&\rightarrow a_1,a_2-a_1,a_3-a_2\\ a_1,a_1+a_3-a_2,a_3&\rightarrow a_1,a_3-a_2,a_2-a_1 \end{align} \]

　　相当于把\(a_{c_1},a_{c_1+1}\)交换了一下。

　　所以可以直接把\(m\)次操作看成\(m\)个交换，做完这些操作看成\(1\)到\(n\)的置换。把整个置换拆成很多个轮换，直接在每个轮换上面走\(k\)步就行了。

　　时间复杂度：\(O(n+m)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ll a[100010];
int c[100010];
int b[100010];
int d[100010];
ll ans[100010];
int main()
{
#ifdef DEBUG
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
#endif
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int i;
	ll sum=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[i]-=sum;
		sum+=a[i];
		c[i]=i;
	}
	int m;
	ll k;
	scanf("%d%lld",&m,&k);
	int x;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		swap(c[x],c[x+1]);
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(!b[i])
		{
			int cnt=0;
			int j;
			for(j=i;!b[j];j=c[j])
			{
				b[j]=1;
				d[++cnt]=j;
			}
			for(j=1;j<=cnt;j++)
				ans[d[j]]=a[d[(j+k-1)%cnt+1]];
		}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ans[i]+=ans[i-1];
		printf("%lld.0\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}