CODEFORCES掉RATING记 #5

​　　比赛：Codeforces Round #429 (Div. 2)

​　　时间：2017.8.1晚

　　这次感觉状态不好，就去打div2了

​　　A：有\(26\)种颜色的气球，每种的数量不一样，你要把这些气球分给\(k\)个人，使得每个人拿到的气球中没有两个颜色相同的。

​　　直接判断每种颜色的气球是否大于\(k\)个。

​　　B：有一个序列，两个人轮流决策（第一个人先）：第一个人可以删掉一个元素和为奇数的子串，第二个人可以删掉一个元素和为偶数的子串。无法选的人输。问你谁能获胜。

​　　可以证明，如果这个序列有至少一个奇数，那么先手获胜。否则后手获胜。证明：如果有奇数个奇数，先手可以直接选完，如果有偶数个奇数（大于\(1\)个），先手可以随便选，后手无法一次选完，先手第二次决策时可以选完。如果没有奇数，先手第一次决策时无法选择满足要求的子串。

​　　C：有两个序列\(a,b\)，你要把\(b\)重新调整顺序，使得\(\sum_{i=1}^nF(a_i,b_i)\)最小。\(F(n,k)\)是$1\ldots n \(中选\)k$个数中最小元素的期望。

​　　我们先推一下看看这个式子是什么：

\[F(n,k)=\frac{1\times\binom{n-1}{k-1}+2\times\binom{n-2}{k-1}+\cdots+(n-k+1)\times\binom{k-1}{k-1}}{\binom{n}{k}} \]

​　　好像我推不出来啊。。。（结果是\(\frac{n+1}{k+1}\)）那我就直接说结论了（可以通过观察样例猜出来）：把\(a\)中最小的数与\(b\)中最小的数对齐，把\(a\)中第二小的数与\(b\)中第二小的数对齐。。。

​　　D：有一个连通图，你要选出一些边使得有一些点的度数为奇数，有一些点的度数为偶数，有一些点的度数没有限制。

​　　先找出这个图的一棵生成树，然后会发现非树边是没有影响的。你可以选出非树边，然后把路径上的树边反向。然后就是一个简单的树形DP了。

​　　E：有一个序列，你要统计有多少个排列满足相邻两个数的积不是完全平方数。

​　　我们先把每个数的完全平方的因子删掉，这样两个数的积是完全平方数就等价于两个数相同。然后DP：\(f_{i,j}\)表示前\(i\)种数放完后有\(j\)组相邻且相同的数。转移时枚举下一种数分成几块(\(k\))和这\(k\)块中有几块插到前面的\(j\)块中(\(l\))。转移：

\[f_{i+1,j+a_{i+1}-k-l}=f_{i,j}\times\binom{a_{i+1}-1}{k-1}\times\binom{j}{l}\times\binom{(\sum_{o=1}^{i-1}a_o)-j+1}{k-l} \]

　　你没看错，时间复杂度是\(O(n^4)\)的，但是能跑过去。