扩展欧拉定理
扩展欧拉定理
证明转载自http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361
1. 在\(a\)的\(0\)次，\(1\)次，...，\(b\)次幂模\(m\)的序列中，前\(r\)个数(\(a^0\)到\(a^{r-1}\))互不相同，从第\(r\)个数开始，每\(s\)个数就循环一次。
证明：由鸽巢定理易证。
我们把\(r\)称为\(a\)幂次模\(m\)的循环起始点，\(s\)称为循环长度。（注意：\(r\)可以为\(0\)）
用公式表述为：\(a^r\equiv a^{r+s}\pmod m\)
2. \(a\)为素数的情况
令\(m=p^rm'\)，则\(\gcd(p,m')=1\)，所以\(p^{\varphi(m')}\equiv 1\pmod {m'}\)
又由于\(\gcd(p^r,m')=1\)，所以\(\varphi(m')|\phi(m)\)，所以\(p^{\phi(m)}\equiv1\pmod {m'}\)，
即\(p^{\varphi(m)}=km'+1\)，两边同时乘以\(p^r\)，得\(p^{r+\varphi(m)}=km+p^r\)（因为\(m=p^rm'\)）
所以\(p^r\equiv p^{r+s}\pmod m\)，这里\(s=\varphi(m)\)
3. 推论：\(p^b\equiv p^{r+(b-r)\%\varphi(m)}\pmod m\)
4. 又由于\(m=p^rm'\)，所以\(\varphi(m)\geq \varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1)\geq r\)
所以\(p^r\equiv p^{r+\varphi(m)}\equiv p^{r\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)
所以\(p^b\equiv p^{r+(b-r)\%\varphi(m)}\equiv p^{r\%\varphi(m)+\varphi(m)+(b-r)\%\varphi(m)}\equiv p^{\varphi(m)+b\%\varphi(m)}\pmod m\)
即\(p^b\equiv p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)
5. \(a\)为素数的幂的情况
是否依然有\(a^{r'}\equiv a^{r'+s'}\pmod m\)？(其中\(s'=\varphi(m),a=p^k\))
答案是肯定的，由2知\(p^s\equiv 1\pmod m'\)，所以\(p^{s\times \frac{k}{\gcd(s,k)}}\equiv 1\pmod {m'}\)，所以当\(s'=\frac{s}{\gcd(s,k)}\)时才能有\(p^{s'k}\equiv 1\pmod {m'}\)，此时\(s'|s|\varphi(m)\)，且\(r'=\lceil \frac{r}{k} \rceil\leq r\leq \varphi(m)\)
由\(r',s'\)与\(\varphi(m)\)的关系，依然可以得到\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)
6. \(a\)为合数的情况
只证\(a\)拆成两个素数的幂的情况，大于两个的用数学归纳法可证。
设\(a=a_1a_2,a_i={p_i}^{k_i}\)，\(a_i\)的循环长度为\(s_i\)
则\(s|lcm(s1,s2)\)，由于\(s1|\varphi(m),s2|\varphi(m)\)，那么\(lcm(s1,s2)|\varphi(m)\)，所以\(s|\varphi(m)\)
\(r=max(\lceil \frac{ri}{ki} \rceil)\leq max(ri)\leq\varphi(m)\)
由\(r,s\)与\(\varphi(m)\)的关系，依然可以得到\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m\)
证毕。
