BSGS&扩展BSGS

BSGS

　　给定\(a,b,p\)，求\(x\)使得\(a^x\equiv b \pmod p\)，或者说明不存在\(x\)
　　只能求\(\gcd(a,p)=1\)的情况
　　有一个结论：如果有解则必然存在\(x\in\left\{0\ldots p-1\right\}\)的解
　　设\(q=\lceil\sqrt p\rceil,x=cq-d\)
　　$$a^{cq-d}\equiv b\pmod p$$
　　$$a^{cq}\equiv b\times a^d\pmod p$$
　　先枚举\(d\in\left\{1\ldots q\right\}\)，把\(b\times a^d \pmod p\)塞进哈希表里
　　再枚举\(c\in\left\{1\ldots q\right\}\)，查询\(a^{cq}\)是否在哈希表内
　　最后\(cq-d\)就是答案
　　

扩展BSGS

　　能求\(\gcd(a,p)\neq1\)的情况。
　　设\(s=\gcd(a,p)\)
　　若\(s\nmid b\)则无解
　　设\(a'=\frac{a}{s},b'=\frac{b}{s},p'=\frac{p}{s}\)
　$$(a's)^x\equiv b's\pmod {p's}$$
　$$a'a^{x-1}\equiv b' \pmod {p'}$$
　　这样每次\(p\)都会除以一个大于\(2\)的数，这个过程一定会停止（\(O(\log p)\)次）
　　最后会得到
　$$da^{x-k}\equiv b\pmod p$$
　　把计算出来的\(x\)加上\(k\)输出就可以了。
　　但是可能存在小于\(k\)的答案
　　直接枚举\(0\)~\(k\)，判断是否合法。

一些其他的东西

　　sdchr大爷说可以直接按照普通BSGS的方法做，然后把我的随机数据过掉了，但被我hack了。
　　表面上看当\(\gcd(a,p)\neq1\)时BSGS也可以做，但是，

\[a^{cq-d}\equiv b\pmod p\Rightarrow a^{cq}\equiv ba^d\pmod p \]

\[a^{cq-d}\equiv b\pmod p\nLeftarrow a^{cq}\equiv ba^d\pmod p \]

　　1式能推出2式，但2式不能推出1式（要两边同时除以\(a\)的逆元）
　　所以这是不对的