【THUSC2017】【LOJ2982】宇宙广播 计算几何 高斯消元

题目大意

　　有 \(n\) 个 \(n\) 维空间中的球，求这些球的所有公切面。

　　保证不会无解或有无穷多组解。

　　\(n\leq 10\)

题解

　　你可以认为这是一道传统题。

　　记公切面为 \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+ a_nx_n=d\)，满足 \(\sum_ia_i^2=1\)。

　　一个点 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) 到这个面的距离为

\[\frac{\lvert a_1x_1+a_2x_2\cdots +a_nx_n-d\rvert}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}} \]

　　对于第 \(i\) 个球，有 \(\lvert\sum_{j}a_jx_{i,j}-d\rvert=r\)。

　　枚举所有 \(\lvert\sum_{j}a_jx_{i,j}-d\rvert\) 的符号，把绝对值符号去掉。

　　然后解方程解出 \(a_i=D_1d+D_2\)，带进 \(\sum_ia_i^2=1\) 中解方程就可以解出 \(d\)。

　　时间复杂度：\(O(n^32^n)\)。

　　直接解方程可能会有奇怪情况，所以要把所有坐标偏移一个值。

代码

const ldb eps=1e-6;
ldb DELTA[]={0,0.235,0.3746,0.1246,0.2153,0.364,0.1253,0.6124,0.164,0.7543,0.35476};
int n;
ldb a[20][20];
ldb r[20];
ldb ans[2100][20][20];
ldb b[20][20];
ldb c[20][20];
ldb e[20];
int cnt;
void gao(ldb d)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		e[i]=c[i][n+1]*d+c[i][n+2];
	cnt++;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ldb s=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			s+=a[i][j]*e[j];
		s-=d;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans[cnt][i][j]=a[i][j]-s*e[j];
	}
}
void calc()
{
	memcpy(c,b,sizeof b);
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=i;
		for(int j=i;j<=n;j++)
			if(fabs(c[j][i])>fabs(c[x][i]))
				x=j;
		if(fabs(c[x][i])<eps)
		{
			flag=1;
			continue;
		}
		if(x!=i)
			swap(c[x],c[i]);
		ldb v=1/c[i][i];
		for(int j=1;j<=n+2;j++)
			c[i][j]*=v;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(j!=i)
			{
				ldb v=c[j][i];
				for(int k=1;k<=n+2;k++)
					c[j][k]-=c[i][k]*v;
			}
	}
	if(flag)
	{
//		ldb d;
//		for(int i=1;i<=n;i++)
//			if(!c[i][i])
//			{
//				if(flag)
//				{
//				}
//				else
//				{
//				}
		printf("error\n");
		return;
	}
	ldb A=0,B=0,C=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		A+=c[i][n+1]*c[i][n+1];
		B+=2*c[i][n+1]*c[i][n+2];
		C+=c[i][n+2]*c[i][n+2];
	}
	C-=1;
	if(fabs(A)<eps)
	{
		if(fabs(B)<eps)
		{
			return;
		}
		ldb d=-C/B;
		gao(d);
	}
	else
	{
		ldb delta=B*B-4*A*C;
		if(delta<-eps)
			return;
		else
			delta=max(delta,(ldb)0);
		if(delta<eps)
		{
			ldb d=-B/(2*A);
			gao(d);
		}
		else
		{
			ldb d1=(-B+sqrt(delta))/(2*A);
			gao(d1);
			ldb d2=(-B+sqrt(delta))/(2*A);
			gao(d2);
		}
	}
}
void dfs(int x)
{
	if(x>n)
	{
		calc();
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		b[x][i]=a[x][i];
	b[x][n+1]=1;
	b[x][n+2]=r[x];
	dfs(x+1);
	if(fabs(r[x])<eps)
		return;
	b[x][n+2]=-r[x];
	dfs(x+1);
}
void solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%Lf",&a[i][j]);
			a[i][j]-=DELTA[j];
		}
		scanf("%Lf",&r[i]);
	}
	cnt=0;
	dfs(1);
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)
				printf("%.20Lf ",ans[i][j][k]+DELTA[k]);
			printf("\n");
		}
}
int main()
{
//	freopen("0.in","r",stdin);
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
		solve();
	return 0;
}