【CSA35G】【XSY3318】Counting Quests DP 拉格朗日反演 NTT
题目大意
zjt 是个神仙。
一天，zjt 正在和 yww 玩猜数游戏。
zjt 先想一个 \([1,n]\) 之间的整数 \(x\)，然后 yww 开始向他问问题。
yww 每次给 zjt 一个区间 \([l,r](1\leq l\leq r\leq n)\)，并询问：\(x\) 是否在区间 \([l,r]\) 内？
对于 NOIP 爆零的 yww 来说，他只会用二分法去猜出这个数。
但是 zjt 决定加大难度。他只会在 yww 给出所有想问的问题之后一次性给出答案。
请你帮助 yww 算出，有多少种可能的区间的集合 \(S\)，满足 yww 在询问所有 \(S\) 中的区间的情况下，无论 \(x\) 是多少，yww 都能猜出来。
方案数对 \(p\) 取模。
\(n\leq 300,p<2^{30}\)
题解
考虑求出不满足要求的集合个数。
对于一个集合 \(S\)，求出每一个数被那些区间覆盖了，记为 \(S_i\)。然后给每个数一个编号 \(a_i\)，满足 \(S_i\) 相同的数 \(a_i\) 相同。
对于两个位置 \(a_i=a_j\)，如果一个区间覆盖了 \(i\)，那么这个区间就一定覆盖了 \(j\)。
每次把 \(a\) 中的第一个数 \(x\) 放入 \(b\) 的末尾，然后在 \(a\) 中删掉最后一个 \(x\) 前的所有数（包括最后一个 \(x\)）。
例如 \(a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]\)
此时 \(b=[1,2,5,10,6,9]\)
可以发现，如果把 yww 给出的没有包含任何数的区间删掉，那么剩下的区间对应着一个长度为 \(\lvert b\rvert\) 的序列的答案。
而且被删掉的区间是否存在都没有影响。
这样就可以DP了。
记 \(f_i\) 为 \(i\) 个数的答案，\(g_{i,j}\) 为 \(i\) 个数，处理之后之剩 \(j\) 个数的答案。
那么
时间复杂度：\(O(n^3)\) 或 \(O(n^2\log n)\)
记 \(F(x)=\sum_{i\geq 0}f_ix^i,G_i(x)=\sum_{j\geq 0}g_{j,i}x^j,H(x)=\sum_{i\geq 0}2^{\binom{i+1}{2}}x^i,A(x)=x+\sum_{i\geq 2}\binom{i-1}{2}x^i\)
记 \(A^{-1}(x)\) 为 \(A(x)\) 的复合逆：\(A(A^{-1}(x))=x\)
然后直接扩展拉格朗日反演求一项的值就好了。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=510;
int n;
ll p;
ll pw[N*N];
ll f[N];
ll g[N][N];
void init()
{
pw[0]=1;
for(int i=1;i<=n*n;i++)
pw[i]=pw[i-1]*2%p;
}
int main()
{
open("guess");
scanf("%d%lld",&n,&p);
init();
g[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
{
g[i][j]=g[i-1][j-1];
for(int k=0;i-2-k>=j-1;k++)
g[i][j]=(g[i][j]+g[i-2-k][j-1]*pw[k*(k+1)/2])%p;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=pw[i*(i+1)/2];
for(int j=1;j<i;j++)
f[i]=(f[i]-f[j]*g[i][j])%p;
}
ll ans=f[n];
ans=(ans%p+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
