随笔分类 - 数学&数论--高斯消元&线性基
摘要：题目大意 有 $n$ 个 $n$ 维空间中的球，求这些球的所有公切面。 保证不会无解或有无穷多组解。 $n\leq 10$ 题解 你可以认为这是一道传统题。 记公切面为 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+ a_nx_n=d$，满足 $\sum_ia_i^2=1$。 一个点 $x_1,x_2
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摘要：题目大意 给你 \(l,r\)，求从 \(l\) 到 \(r\) 这 \(r-l+1\) 个数中能选出多少个不同的子集，满足子集中所有的数的乘积是一个完全平方数。 对 \(998244353\) 取模。 \(1\leq l,r\leq {10}^7\) 有 \(100\) 组数据，\(\sum r-
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摘要：题目大意 这是一道通信题。 给你 $8$ 个 $32$ 位整数。加密端要把这些数加密成至少 $1000$ 个 $32$ 位整数，交互库会把这些整数随机打乱后发给解密端，解密端最多能获得其中 $lim$ 个的值，解密端要按顺序给出这 $8$ 个整数。 交互库会测试 $100$ 次。 对于 $lim\g
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摘要：题目大意 有一个 $n\times k$ 的 01矩阵 $C$，求有多少个 $n\times m$ 的矩阵 $A$ 和 $m\times k$ 的矩阵 $B$，满足 $A\times B=C$。系数对 $2$ 取模。 还有 $q$ 次操作，每次会修改 $C$ 中一行的值。 要对每次修改后的矩阵计算答
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摘要：题目大意 给你一个 $n\times n$的矩阵 $A$，求次数最小且最高次项为 $1$ 的多项式 $F(x)$，满足 $F(A)=0$。 所有操作都对 $p$ 取模。 $n\leq 70,n include include using namespace std; typedef long lon
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摘要：题目大意 给出 $n$ 个非负整数，将数划分成两个集合，记为一号集合和二号集合。$x_1$ 为一号集合中所有数的异或和，$x_2$ 为二号集合中所有数的异或和。在最大化 $x_1 + x_2$ 的前提下，最小化 $x_1$。 $n\leq 100000,0\leq a_i\leq {10}^8$ 题
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摘要：题目描述 有一棵 $n$ 个点的树。你从点 $x$ 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。 有 $q$ 次询问，每次询问给定一个集合 $S$，求如果从 $x$ 出发一直随机游走，直到点集 $S$ 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。 特别地，点 $x$（即起点）视为一开始就被经过
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摘要：一个比较慢的做法 首先你要知道矩阵的特征多项式是什么。 直接消元就可以了。 时间复杂度：$O(n^5)$或$O(n^4)$。 一个稍微快一点的做法 观察到特征多项式的次数是$n$。 我们就可以插值。 具体来说，先求出当$x=0\ldots n$时特征多项式对应的点值，然后直接用拉格朗日插值插出来。
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摘要：题目描述 定义两个图$G_1$与$G_2$的异或图为一个图$G$，其中图$G$的每条边在$G_1$与$G_2$中出现次数和为$1$。 给你$m$个图，问你这$m$个图组成的集合有多少个子集的异或图为一个连通图。 $n\leq 10,m\leq 60$ 题解 考虑枚举图的子集划分，让被划分到不同子集的
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摘要：题目大意 给你一个无向图，有$m$个询问，每次给你一个点$x$和一个点集$S$，问你从$x$开始走，每次从一个点随机的走到与这个点相邻的点，问你访问$S$中每个点至少一次的期望步数是多少。 $n\leq 18,m\leq 100000$ 题解 有个东西叫min max容斥： $$ \max(S)=\
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摘要：题目描述 有一个$n$维空间中的球，告诉你球面上$n+1$个点的坐标，求球心的坐标。 $n\leq 10$ 题解 设$a_{i,j}$为第$i$个点的第$j$维坐标，$i=0$代表球心。 假设$n=2$： $$ \begin{align} \sum_{i=1}^n{(a_{0,i} a_{1,i})
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摘要：题目大意 有一个$n$个点$m$条边的图，每条边有一种颜色$c_i\in\{1,2,3\}$，求所有的包括$i$条颜色为$1$的边，$j$条颜色为$2$的边，$k$条颜色为$3$的边的生成树的数量。 对${10}^9+7$取模。 $n\leq 50$ 题解 如果$\forall i,
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