求具体矩阵的逆矩阵
求具体矩阵的逆矩阵
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时,常采用如下一些方法.
方法1 伴随矩阵法:.
注1 对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意元素的位置及符号.特别对于2阶方阵
,其伴随矩阵
,即伴随矩阵具有“主对角元互换,次对角元变号”的规律.
注2 对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
方法2 初等变换法:
注 对于阶数较高()的矩阵,采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换.
方法3 分块对角矩阵求逆:对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中均为可逆矩阵.
例1 已知,求
.
解 将分块如下:
其中,
而
,
从而
例2 已知,且
,试求
.
解 由题设条件得
例3 设4阶矩阵
且矩阵满足关系式
,试将所给关系式化简,并求出矩阵
.
解 由所给的矩阵关系式得到
,即
故.利用初等变换法求
.由于
故
例4 设,则
_________.
应填:.
分析 在遇到的有关计算时,一般不直接由定义去求
,而是利用
的重要公式.如此题,由
得
,而
,于是
=
例5 已知,试求
和
.
分析 因为,所以求
的关键是求
.又由
知
,可见求得
和
后即可得到
.
解 对两边取行列式得
,于是
即,故
又因为,其中
,又
,可求得
,
故由得
例6 设,其中
(
),则
____.
应填:.
分析 法1.,其中
,
.
从而.又
,
,代入即得
的逆矩阵.
法2. 用初等变换法求逆矩阵.
=
故