欧拉路问题
欧拉路问题，俗称“一笔画”问题
给定一张无向图。若存在一条从节点S到节点T的路径，恰好不漏不重的经过每一条边一次（可以重复经过节点），则称该路径为S到T的欧拉路
若存在一条从节点S出发，恰好不漏不重地经过每一条边（可以重复经过图中节点）最终回到起点S，则该路径称为欧拉回路。
存在欧拉回路的无向图称为欧拉图
欧拉图判定
一张无向图为欧拉图，当且仅当无向图联通，且每个节点的度都是偶数
欧拉路存在性判定
一张无向图存在欧拉路，当且仅当无向图连通，并且图中恰好有两个节点的度数为奇数，其他节点的度数为偶数。这两个度数为奇数的节点就是起点S和终点T
或 所有节点的度数都为偶数
欧拉回路的方案
在保证一张无向图时欧拉图时
欧拉图每个节点度数为偶数说明：只要到达一个节点，就必定存在有一条尚未走过的边可以离开该点。
故在伪代码中调用dfs(1)，不断递归，每次都走到“从x出发的第一条未访问的边”的另一端点y，最终一定能回到节点1，产生一条回路
但是这条回路不能保证经过图中的每条边。所以dfs函数会继续考虑从x出发的其他未访问的边，找到第二条回路
伪代码实际找出了若干条回路，我们需要把这些回路按照适当的方法拼接在一起，形成整张图的欧拉回路，一个拼接方法就是把第二条回路嵌入第一条回路中间
而伪代码中的栈，替我们完成了这个拼接工作，最后，把栈中的所有节点倒序输出，就得到了一条欧拉回路
上述算法的复杂度时O(NM)。因为一个点会被重复遍历多次，每次都会扫描与它相连的所有的边，虽然大部分的边已经访问过了
假设我们使用邻接表来存储无向图，我们可以在访问一条边(x, y)后，及时修改表头head[x]，令它指向下一条边。
这样我们每次只需去除head[x]，就自然跳过了所有已经访问过的边
因为欧拉回路的DFS的递归层数时O(M)级别，容易造成系统栈溢出。我们可以用另一个栈，模拟机器的递归过程把代码转为非递归实现
最后复杂度为O(N + M)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn = 500010; 4 struct shiki { 5 int y, net; 6 }e[maxn << 1]; 7 int lin[maxn], len = 0; 8 int s[maxn], ans[maxn]; 9 bool vis[maxn]; 10 int n, m, t_f = 0, t_s = 0; 11 12 inline int read() { 13 int x = 0, y = 1; 14 char ch = getchar(); 15 while(!isdigit(ch)) { 16 if(ch == '-') y = -1; 17 ch = getchar(); 18 } 19 while(isdigit(ch)) { 20 x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; 21 ch = getchar(); 22 } 23 return x * y; 24 } 25 26 inline void insert(int xx, int yy) { 27 e[++len].y = yy; 28 e[len].net = lin[xx]; 29 lin[xx] = len; 30 } 31 32 inline void euler() { 33 s[++t_f] = 1; 34 while(t_f > 0) { 35 int x = s[t_f], i = lin[x]; 36 while(i && vis[i]) i = e[i].net; 37 if(i) { 38 s[++t_f] = e[i].y; 39 vis[i] = vis[i ^ 1] = true; 40 lin[x] = e[i].net; 41 } 42 else t_f--, ans[++t_s] = x; 43 } 44 } 45 46 int main() { 47 n = read(), m = read(); 48 len = 1; 49 for(register int i = 1; i <= m; ++i) { 50 int x = read(), y = read(); 51 insert(x, y); 52 insert(y, x); 53 } 54 euler(); 55 cout << "One of all Euler circuits is : "<< ' '; 56 for(register int i = t_s; i >= 1; --i) 57 cout << ans[i] << ' '; 58 return 0; 59 }
例题：Watchcow(poj2230)
给定N个点M条边的无向图(1 <= N <= 10^4, 1 <= M <= 5 * 10^4)，求一条路径，从节点1出发，最后回到节点1，并且满足每条边恰好被沿着正，反两个方向分别经过一次。
若有多种方案，输出一种即可
按照一般的存储方式，无向边会在邻接表中以正、反两个方向分别被保存一次，若没有vis标记，则按照表头数组head的更新方法，每条无向边会被正反各经过一次，恰好符合题目要求
请自己动手写递归吧！
1 #include<iostream> 2 #include<iomanip> 3 #include<cstdio> 4 #include<ctime> 5 #include<cstdlib> 6 #include<algorithm> 7 #include<cstring> 8 #include<stack> 9 #include<queue> 10 #include<map> 11 #include<vector> 12 #include<cmath> 13 using namespace std; 14 const int maxn = 50010; 15 struct shiki { 16 int y, net; 17 }e[maxn << 1]; 18 int lin[maxn], len = 0; 19 int n, m, t_f = 0, t_s = 0; 20 int s[maxn], ans[maxn << 1]; 21 22 inline int read() { 23 int x = 0, y = 1; 24 char ch = getchar(); 25 while(!isdigit(ch)) { 26 if(ch == '-') y = -1; 27 ch = getchar(); 28 } 29 while(isdigit(ch)) { 30 x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; 31 ch = getchar(); 32 } 33 return x * y; 34 } 35 36 inline void insert(int xx, int yy) { 37 e[++len].y = yy; 38 e[len].net = lin[xx]; 39 lin[xx] = len; 40 } 41 42 inline void euler() { 43 s[++t_f] = 1; 44 while(t_f > 0) { 45 int x = s[t_f], i = lin[x]; 46 //while(i) i = lin[i]; 47 if(i) { 48 s[++t_f] = e[i].y; 49 lin[x] = e[i].net; 50 } 51 else t_f--, ans[++t_s] = x; 52 } 53 } 54 55 int main() { 56 // freopen("watchcow.in", "r", stdin); 57 // freopen("watchcow.out", "w", stdout); 58 n = read(), m = read(); 59 len = 1; 60 for(register int i = 1; i <= m; ++i) { 61 int x = read(), y = read(); 62 insert(x, y); 63 insert(y, x); 64 } 65 euler(); 66 for(register int i = 1; i <= t_s; ++i) 67 cout << ans[i] << '\n'; 68 return 0; 69 }
